Beweis von Potenzgesetzen. ^n√(^m√(x)) = ^{nm}√x

Question

Weisen Sie mithilfe der Definition der n-ten Wurzel und der Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten nach, dass für alle x ∈ ℝ⁺ und alle m, n ∈ ℕ gilt:

$$ \sqrt [ m ]{ \sqrt [ n ]{ x }  } =\quad \sqrt [ mn ]{ x }   $$

Die Potenzgesetze für rationale Exponenten dürfen nicht verwendet werden.

Wäre für eure Hilfe echt dankbar ^^

Answer 1

zu zeigen:

Für a∈ℝ⁺ ist   ^m√( ⁿ√ (a) )  die nichtnegative Lösung der Gleichung  x^m•n = a :

 ^m√ [ ⁿ√ (a) ]   ist  nichtnegativ   und 

[  ^m√( ⁿ√ (a) ) ] ^m•n  = [ [  ^m√( ⁿ√ (a) ) ] ⁿ ] ^m           [Potenzgesetz: (a^m)ⁿ = a^m•n]

=   [ [  ^m√( a) ] ^m  = a                                                 [ Definition der ^m√  ]  

w.z.b.w.

Gruß Wolfgang