Potenzgesetz (x^n)^m = x^{nm}

Question

Ich versuche gerade zu beweisen, dass \((x^n)^m = x^{nm}\) für \(n,m<0\) und \(n,m\) ganze Zahlen.  Die restlichen Potenzgesetze habe ich schon bewiesen, deshalb kann man die hier nutzen.

Comments

Ich habe es hinbekommen, sorry.

Die Lösung: k = -n, l = -m:

\( (x^n)^m = (x^{-k})^{-l} = ((x^{-k})^{-1})^l = ((x^{-1})^{-k})^l = (x^k)^l = x^{kl} = x^{--mn} = x^{mn} \)

Answer 1

Deine Umformung:

$$ (x^n)^m = (x^{-k})^{-l} = ((x^{-k})^{-1})^l = ((x^{-1})^{-k})^l = (x^k)^l = x^{kl} = x^{((-m)(-n))} = x^{mn} $$

Wenn du schon weisst, wie man -1 von aussen her schrittweise reinbekommt, ist deine Umformung ok.

Der zweitletzte Term sollte aber x^ ((-m)(-n)) sein.
Vergiss nicht, dass es auch noch den Fall m>0 und n<0 (und umgekehrt) gibt.

Comments

Ich weiss nicht wie man -1 von aussen her schrittweise reinbekommt, allgemein muss ich das erst beweisen, ich weiss aber dass es (x^n)^-1 = (x^-1)^n gilt und das kann man so beweisen:

x^n*(x^-1)^n = (x*x^-1)^n = 1^n = 1 und aus der Eindeutigkeit des inverses folgt (x^n)^-1 = (x^-1)^n für alle n ganze Zahlen also auch für -k.