Warum ist das so bei dieser Ableitung?

Question

Ich habe in einem Mathematikbuch folgendes gefunden -->

y = f(x)

dy = f(x + dx) - f(x)

y = x ^ 2

dy = (x + dx) ^ 2 - x ^ 2

dy = 2 * x * dx + (dx) ^ 2

Jetzt kommt das, was ich nicht verstehe -->

dy = 2 * x * dx

Wenn dx unendlich klein wird, falls das vorgesehen ist, dass es das wird, warum verschwindet (dx) ^ 2, aber 2 * x * dx verschwindet nicht ?

Wenn dx gegen Null geht, dann würde ich erwarten, dass 2 * x * dx zu 2 * x * 0 = 0 wird, also auch verschwindet.

Wo ist hier mein Denkfehler ?

Answer 1

Hi, Du willst ja die erste Ableitung bestimmen für die Funktion \( y(x) = x^2 \)
Die erste Ableitung ist definiert als \( \lim_{h\to 0} \frac{y(x+h)-y(x)}{h} = \lim_{x\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} = \lim_{x\to 0} \frac{2xh+h^2}{h} = \lim_{x\to 0} (2x + h) = 2x \)

Comments

Erst mal vielen Dank für deine Antwort !

In dem Buch, was ich erwähnte, wurde ja ohne h-Methode gearbeitet.

Ein Erklärung, warum (dx) ^ 2 in der Beispielrechnung von oben verschwindet, habe ich immer noch nicht.

Aber ich werde diese blöde Erklärung in dem Buch jetzt bleiben lassen und nur noch mit der h-Methode arbeiten, Danke !

Answer 2

dy = 2 * x * dx + (dx) ^ 2

Jetzt kommt das, was ich nicht verstehe -->

dy = 2 * x * dx

Ein Erklärung, warum (dx) ^ 2 in der Beispielrechnung von
oben verschwindet, habe ich immer noch nicht.

Kann ich dir auch nicht sagen.

Falls es dir möglich ist stell´ einmal den Originaltext des Buches ein.
( Fotografie )

Comments

Da steht keine weitere Erklärung, sorry.

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Ich habe es jetzt verstanden !!

Durch diesen Satz "in which higher powers of differentials added to lower ones may be neglected"

Ich habe die Rechnung jetzt noch mal mit y = x ^ 3 wiederholt -->

y = x ^ 3

dy = (x + dx) ^ 3 - x ^ 3

dy = (dx) ^ 3 + 3 * (dx) ^ 2 * x + 3 * (dx) * x ^ 2 + x ^ 3 - x ^ 3

Nun werden alle höheren Potenzen von dx weggelassen, mit Absicht !

dy = 3 * (dx) * x ^ 2 | : dx

dy / dx = 3 * x ^ 2

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\( dy = (x+dx)^2 - x^2 = 2x \cdot dx + dx^2 \approx 2x \cdot dx \) weil \( dx^2 \) sehr viel kleiner als \( dx \) ist. Wenn jetzt durch \( dx \) dividiert, folgt \( \frac{dy}{dx} = 2x \)

Löst das Dein Problem?

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Ja, mein Problem ist jetzt gelöst ! Vielen Dank !

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Üblicherweiser wir der Vorgang beschrieben mit

dy = 2*x * dx + dx^2  | : dx
dy / dx = 2 * x  + dx
lim dx−> 0 [ 2 * x + dx ] = 2 * x

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@georgborn

Recht herzlichen Dank für deine Information !