Extremstellen bei mehrdimensionalen Funktionen

Question

Ich möchte bei Funktionen mit mehr als einer Variablen die Extremstellen finden, dabei habe ich aber noch Probleme.. Was ich bisher weiß:

1. Ich leite die Funktion partiell nach allen Variablen ab, im Fall von f(x,y) wäre das dann fx, fxx, fy, fyy und fyx/fxy.

2. Ich soll die partiellen Ableitungen von fx und fy nullsetzen, also fx=0. Da weiß ich schon nicht weiter, welche Variablen soll ich dabei herausfinden, wenn in jeder Ableitung mehrere Variable vorkommen? z.B. fx=3x²-5y+3=0 (1. Ableitung nach x)

Durch das null setzen soll ich die kritischen Punkte finden, sind dies dann schon die Koordinaten mit x,y oder muss ich die erhaltenen Werte doch wieder in eine Formel einsetzen und berechnen?

Übungsaufgabe an der ich jetzt schon scheitere ist f(x,y)=3x³+y³+10x-5y²

Wenn ich die kritischen Punkte erhalten habe, kann ich mittels fxx*fyy-(fxy)² herausfinden, ob das ein Minimum/Maximum oder Sattelpunkt ist. Dann muss ich doch mit dieser Formel und den einzelnen kritischen Punkten jeden Punkt einzeln analysieren, korrekt?

Vielen lieben Dank für die Hilfe :-)

Answer 1

um die kritischen Punkte zu finden, kannst nicht einzelne Gleichungen Null setzen.

du musst das Gleichungssystem    f_x = 0  und  f_y = 0 lösen

Die Lösungen sind dann Zahlenpaare (x|y), also "Punkte".

Hier:   9·x² + 10  = 0   und   3·y^2 - 10·y = 0

Dass x und y hier in beiden Gleichungen getrennt vorkommen, ist Zufall.

Da die erste Gleichung keine reelle Lösung hat, gibt es in ℝxℝ keine kritischen Punkte!

>Dann muss ich doch mit dieser Formel und den einzelnen kritischen Punkten jeden Punkt einzeln analysieren, korrekt?

Das ist korrekt.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe Wolfgang

Bei der Funktion f(x,y) = 3x³  +y³ - 3² - 36x

1. Schritt, partiell ableiten

f_y = 3y² - 6y

f_yy = 6y - 6

f_x = 9x² - 36

f_xx = 18x

f_xy = 0 bzw. nicht vorhanden

2. Schritt, partielle Ableitungen f_x und f_y, gleich =0 setzen

f_{x = 9x² - 36 | +36}

_{9x² = 36 | :9}

_{x² = 4 --> Durch das Quadrat muss ich die Wurzel aus 4 ziehen, erhalte also zwei Werte x1 = 2 und x2 = -2} 

f_{y = 3y² - 6y | + 6y}

_{3y² = 6y | :3}

_{y² = 2y  --}> Wie muss ich da nun weiter vorgehen? Wurzel aus der 2 ziehen? Jedenfalls müsste ich zwei Werte erhalten, durch das Quadrat am Buchstaben y

Habe ich nun zwei Wertpaare bzw. Punkte, also (2|unbekannt) und (-2|unbekannt), wobei sich die Unbekannten aus der Lösung von y² = 2y ergeben. Bin ich soweit richtig unterwegs?