Extremstellen bei mehrdimensionalen Funktionen bestimmen

Question

Ich habe folgende Funktion f(x,y,z)=5x²+y²+z²/2-2x+3xy-yz-3 Ich soll alle stationären Punkte ermitteln und dann bestimmen, ob es sich um lokale Extremstellen handelt und eventuell ob es auch globale Extremstellen sein könnten.

Dann habe ich den Gradienten ermittelt: 10x-2+3y ; 2y+3x-z ; z-y

Als stationären Punkte habe ich P(2/-6/-6) rausbekommen.

Die Hessematrix würde wie folgt aussehen: (10 ; 3 ; 0 )

(3 ; 2 ; -1 )

(0 ; -1 ; 1)

Da die Hauptminoren mit 10 , 11 , und  11 alle größer als 0 sind, handelt es sich um ein Minimum. Nun würde meine Frage lauten, wann es sich um ein Maximum handelt und ob es lokal oder global ist?

Vielen Dank für eure Antworten

Answer 1

f = 5·x^2 + y^2 + z^2/2 - 2·x + 3·x·y - y·z - 3

df / dx = 10·x + 3·y - 2 = 0

df / dy = 3·x + 2·y - z = 0

df / dz = z - y = 0

Extrema bei x = 2 ∧ y = -6 ∧ z = -6

Damit ist das wie du sagst ein Minimum.

Ausrechnen tust du nur lokale Minima und Maima und keine Globalen.

Da die höchsten Potenzen von x, y und z in der Funktion jeweils gerade sind ist dies aber ein lokales und und gleichzeitig globales Minimum.