Partielle Grenzwerte sagt man eigentlich nur, wenn man schwankende Grenzwerte hat (im lim bleibt was mit sin oder (-1)^n über).
c[n]=(n!)^{1/n} kann bei n gegen unendlich mit der Stirlingschen Näherungsformel
https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel
approximiert werden:
lim (n!)^{1/n} = n/e+(log(2 pi)-log(1/n))/(2 e) für n -> ∞
Die Differenz geht gegen 0:
(n!)^{1/n}-[n/e+(log(2 pi)-log(1/n))/(2 e)],n=400 ergibt schon 0.00714747...
Zugabe:
So richtig interessant ist die Funktion jedoch bei negativen Argumenten:
n! = Gamma(n+1) hat bei n= -1, -2, ... also negativen ganzzahligen Argumenten Polstellen! Man kann sie aber zeichnen und den Grenzwert berechnen:
lim (x!)^{1/x} mit x->-1 ergibt 0
Die Polstellen erzeugen aber Knicke in der Funktion und komplexe Anteile (rot).
(einige penible Lehrer möchten bei den Polstellen kleine Kreise eingemalt haben)