Partieller Grenzwert (Berechnung) | Ana 1. c_(n) = ^n√(n!)

Question

Hi. ICh brauche bitte Hilfe bei der Berechnung eines partiellen Grenzwertes.

Comments

Wie habt ihr "partieller" Grenzwert definiert?

Answer 1

Partielle Grenzwerte sagt man eigentlich nur, wenn man schwankende Grenzwerte hat (im lim bleibt was mit sin oder (-1)^n über).

c[n]=(n!)^{1/n} kann bei n gegen unendlich mit der Stirlingschen Näherungsformel

https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel

approximiert werden:

lim  (n!)^{1/n} = n/e+(log(2 pi)-log(1/n))/(2 e) für n -> ∞

Die Differenz geht gegen 0:

(n!)^{1/n}-[n/e+(log(2 pi)-log(1/n))/(2 e)],n=400 ergibt schon 0.00714747... 

Zugabe:

So richtig interessant ist die Funktion jedoch bei negativen Argumenten:

n! = Gamma(n+1) hat bei n= -1, -2, ... also negativen ganzzahligen Argumenten Polstellen! Man kann sie aber zeichnen und den Grenzwert berechnen:

lim (x!)^{1/x} mit x->-1 ergibt 0

Die Polstellen erzeugen aber Knicke in der Funktion und komplexe Anteile (rot).

(einige penible Lehrer möchten bei den Polstellen kleine Kreise eingemalt haben)

Comments

Und wie kommt man auf sowas ? ☺

Sowas wie mit dieser Formel wurde uns nicht beigebracht an der uni

Danke Schon mal für die Hilfe

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Viele meiner Antworten enthalten Zusatz-Infos, die die Lehrer oft nicht haben wollen.

Die Stirlingsche Formel müsstet Ihr aber schon gehabt haben!

Die  Näherung lim n/e+(log(2Pi*n))/(2 e) zeigt schon, dass jeder der beiden Einzel-Grenzwerte gegen unendlich ( ∞ ) strebt.

Das reicht vermutlich aus.