Bei so einer kleinen Matrix kannst du ja einfach
den Ansatz B=
a b
c d
machen und rechnest erst mal
A*B=I also
a+2c b+2d = 1 0
a+5c b+5d 0 1
das gibt im Körper Q
a+2c=1 ^ b+2d = 0 ^ a+5c=0 ^ b+5d= 1
a=1-2c ^ b=-2d ^ a=-5c ^ b=1-5d
-5c=1-2c ^ ... ^... ^ -2d=1-5d
-3c=1 3d=1
c = -1/3 d=1/3
b=-2/3 a=5/3
Also ist die gesuchte Matrix B =
5/3 -2/3
-1/3 1/3
und am besten machst du noch die Probe
A*B = B*A = I stimmt!
beim Körper F5 ändert sich ab hier etwas:
a=1-2c ^ b=-2d ^ a=-5c ^ b=1-5d denn das ist ja
a=1-2c ^ b=3d ^ a=0 ^ b=1 und damit
2c=1 ^ 1=3d ^ a=0 ^ b=1 und weil 2*3=1
c=3 ^ 2=d ^ a=0 ^ b=1
also B =
0 1
3 2 und damit klappt die Probe auch.
im Körper F3 wäre es so : aus
a=1-2c ^ b=-2d ^ a=-5c ^ b=1-5d wird
a=1+c ^ b=d ^ a=c ^ b=1+d
und die erste und 3. Gleichung ergeben
c=1+c
0=1 Widerspruch! Also gibt es eine solche Matrix
in F3 nicht.
