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Es sei K ein Körper und

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Meinst du das ?

Bei so einer kleinen Matrix kannst du ja einfach

den Ansatz B=

a     b
c     d

machen und rechnest erst mal

A*B=I also

a+2c     b+2d      =        1           0
a+5c     b+5d                0           1

das gibt  im Körper Q

a+2c=1   ^   b+2d = 0    ^  a+5c=0      ^  b+5d= 1
a=1-2c   ^   b=-2d          ^  a=-5c      ^  b=1-5d
-5c=1-2c  ^ ...               ^...              ^  -2d=1-5d
-3c=1                                                   3d=1
c = -1/3                                                 d=1/3

b=-2/3              a=5/3

Also ist die gesuchte Matrix B =

5/3     -2/3
-1/3    1/3 

und am besten machst du noch die Probe

A*B = B*A = I  stimmt!

beim Körper F5 ändert sich ab hier etwas:

a=1-2c   ^   b=-2d    ^  a=-5c      ^  b=1-5d   denn das ist ja

a=1-2c   ^   b=3d     ^  a=0      ^  b=1  und damit

2c=1   ^     1=3d       ^  a=0      ^  b=1    und weil 2*3=1

c=3   ^        2=d       ^  a=0      ^  b=1

also  B =

0      1
3      2    und damit klappt die Probe auch.

im Körper F3 wäre es so :   aus

a=1-2c   ^   b=-2d    ^  a=-5c      ^  b=1-5d  wird

a=1+c   ^   b=d    ^  a=c      ^  b=1+d    
und die erste und 3. Gleichung ergeben

c=1+c

0=1   Widerspruch! Also gibt es eine solche Matrix
in F3 nicht.
Avatar von 289 k 🚀

Beim Körper F5 ist am Anfang b = - 2d. Und danach ist b = 3d. Wieso?

In F5 ist -2 = 3  denn   2 + 3 = 0  ( bzw. = 5, aber das ist ja 0 )

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