Herleitung Schwerpunkt (= Massenmittelpunkt) Kegel findest du hier:
http://www.math-grain.de/download/m2/int/rk/vol-3.pdf
Trägheitsmoment Iz des Kegels bei Drehung um die z_Achse:
Sei M die Masse, ρ die Dichte, R der Radius und h die Höhe des Kegels:
Iz = ∫M r2 dM = ∫V r2 ρ dV mit V = 1/3 π R2 h und
= ∫02π ∫0h ∫0R r2 · ρ · r · dr dz dφ in Zylinderkoordinaten
= ρ ·∫02π ∫0h 1/4 r4 dz dφ = ρ·∫02π ∫0h 1/4·r4 dz dφ
= 1/4 ρ ·∫02π dφ • ∫0h (R/h·z)4 dz [ z/h = r/R (2.Strahlensatz) ]
= 1/10· π· ρ·R4 ·h = 3/10·ρ·( 1/3·π·R2 ·h )·R2 [ mit VZ = 1/3 π R2 ]
= 3/10·ρ·V·R2 = 3/10 • M • R2 [ mit ρ · V = M ]
Gruß Wolfgang