Trägheitsmoment berechnen

Question

Hallo. Ich bin seit ein paar Tagen dabei zu überlegen wie Aufgabe 3b und 4 geht. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Herleitung Schwerpunkt (= Massenmittelpunkt) Kegel findest du hier:

http://www.math-grain.de/download/m2/int/rk/vol-3.pdf

Trägheitsmoment I_z des Kegels bei Drehung um die z_Achse:

Sei M die Masse, ρ die Dichte, R der Radius und h die Höhe des Kegels:

I_z = ∫_M  r² dM  =  ∫_V r² ρ  dV       mit  V = 1/3 π R² h   und

=  ∫₀^2π  ∫₀^h  ∫₀^R  r² · ρ · r · dr dz dφ    in Zylinderkoordinaten

=  ρ ·∫₀^2π ∫₀^h  1/4 r⁴ dz dφ  =  ρ·∫₀^2π ∫₀^h  1/4·r⁴ dz dφ

= 1/4 ρ ·∫₀^2π dφ • ∫₀^h (R/h·z)⁴ dz    [ z/h = r/R  (2.Strahlensatz) ]

=  1/10· π· ρ·R⁴ ·h  =  3/10·ρ·( 1/3·π·R² ·h )·R²   [ mit V_Z = 1/3 π R² ]

=  3/10·ρ·V·R²  =  3/10 • M • R²      [ mit ρ · V = M ]

Gruß Wolfgang