Begründen Sie die folgenden Konvergenzen und bestimmten Divergenzen an Hand der Definitionen

Question

Konvergenz und bestimmte Divergenz

Seien \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) drei Folgen mit

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>0 \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=0 \quad\left(\forall n \in \mathbb{N} \quad b_{n} \neq 0\right) \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{n}=\infty \)

Begründen Sie die folgenden Konvergenzen und bestimmten Divergenzen an Hand der Definitionen.

a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{c_{n}}=0 \)

b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \cdot c_{n}=\infty \)

c) \( \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\left|b_{n}\right|}=\infty \)

d) Warum sind die Betragsstriche in c) wichtig? Finden Sie ein Beispiel dafür, dass die Folge aus c) ohne Betragsstriche unbestimmt divergiert!

Hinweis: Verwenden Sie zur Begründung die folgenden Definitionen.

\( \begin{array}{c} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \Longleftrightarrow \forall \epsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall n>n_{0} \quad\left|x_{n}-x\right|<\epsilon \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=\infty \Longleftrightarrow \forall K \in \mathbb{R} \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall n>n_{0} \quad y_{n}>K \end{array} \)

Answer 1

Ich versuche mal Aufgabenteil a).

Wähle  ε > 0. Es existiert ein  N ∈ ℕ  mit  |a_n - a| < ε  für alle  n > N. Wähle  K = max{ 2, 2·a/ε }. Es existiert ein  M ∈ ℕ  mit  c_n > K  für alle  M > n. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung für alle  n > max{ M, N }

|a_n / c_n| < |a_n| / K = |a_n - a + a| / K ≤ |a_n - a| / K + a / K < ε / 2 + a·ε / (2·a) = ε / 2 + ε / 2 = ε.

Daraus folgt  lim_n→∞ a_n/c_n = 0.