Limes Superior, Beweis

Question

Meine Frage ist als Bild angehängt.

Meine Idee dazu wäre folgende:

s=lim sup (a_n) <=> (i) und (ii) gilt

Das heißt ich muss folgende Aussage in zwei Richtungen zeigen.

1) " => "

Annahme: s= lim sup (a_n)

zz: (i) und (ii) 

Definition (Lim Sup): 

Die reelle Folge (an) sei nach oben beschränkt und habe mindestens einen Häufungswert. Dann besitzt die Menge H aller Häufungswerte von (an) ein Maxium, genannt Limes Superior von (an) geschrieben: lim (an) = max H

Ich weiß auch, dass für jedes Epsilon > 0 ein N element aus den natürlichen Zahlen gibt, sodass für alle n>N gilt: an<max H + Epsilon

(1) (an) nach oben beschränkt wissen wir von der Angabe

Ich weiß jetzt nicht genau, wie ich von der Annahme zu den beiden zu zeigenden Mengen kommen sollte.

2) "<="

Annahme: (i) und (ii) 

zz: s=lim sup (an) 

Ich weiß leider nicht, wie ich weiter machen könnte.

Ich hoffe es kann mir irgendwer helfen.

DANKE ! :)

Comments

 Kann uns bitte jemand helfen. Sitzen schon seit 2 Tagen daran kommen jedoch auf keine gute Lösungen wenn uns jemand Tipps geben könnten wären wir euch sehr dankbar.

Mfg

Answer 1

(1) (an) nach oben beschränkt wissen wir von der Angabe

zu (ii) s ist der größte Häufungswert. Und Sei Z eine obere Schranke und eps > 0

1. Fall Z=s dann gibt es kein Folgenglied ober halb von Z also auch nicht von s und
                damit  ist { n aus N | an > s + eps } leer, also endlich.

2. Fall Z > s .  Wäre { n aus N | an > s + eps } lägen im Intervall ]s+eps;Z] unendlich
                viele Folgenglieder und damit gäbe es in diesem Intervall einen Häufungswert
                  im Widerspruch zu:   s ist der größte HW.

zu (ii) s ist der größte Häufungswert und eps>0.   Also liegen in U_eps(s) unendlich viele
          Folgenglieder ( wegen HW) . Da wegen (ii) nur endlich viele größer als s sind
            müssen unedlich viele ≤ s sein, also in ] s + eps; s ] liegen. Damit ist
                 { n aus N | an > s + eps}  unendlich.

2) "<="

Annahme: (i) und (ii) 

zz: s=lim sup (an)   

wegen der Endlichkeit von { n aus N | an > s + eps }  z.B. für eps = 1
besitzt diese Menge ein Max. Dieses ist eine obere Schranke für a_n. Also hat
 man das schon mal.

wegen der Unendlichkeit von { n aus N | an > s - eps } liegen in jeder Ung. von s
unendlich viele Folgenglieder, s ist also ein HW.

Es ist der größte HW, denn gäbe es einen größeren, sagen wir mal Z, dann müssten
in jeder Umg. von Z unendlich viele Folgenglieder liegen. Da Z > s wären mit eps=(Z-s)/2
auch in dieser eps-Umgebung unendlich viele, die alle größer s wären, im Widerspruch
zur Endlichkeit von { n aus N | an > s + eps }.

Also ist s gröter HW und damit lim sup (a_n).

Comments

Zum Beweis (1)

Warum folgt im 1. Fall, dass es leer also endlich ist?

2.Fall: Wenn es im Intervall einen Häufungswert gibt, dann ist das doch kein Widerspruch zu s ist der größte HW oder?

Danke !! :)

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Warum folgt im 1. Fall, dass es leer also endlich ist?

s=Z ist obere Schranke, also gibt es kein an mit an > s  bzw. an>Z

Aber   an > s + eps   heißt doch erst recht    an > s

2.Fall: Wenn es im Intervall einen Häufungswert gibt,
dann ist das doch kein Widerspruch zu s ist der größte HW oder?

Doch: In dem Intervall liegen alles Werte > s .
Also gäbe es einen größeren HW als s und damit wäre
s nicht der größte.