Wie schätze richtig ab? eps-delta

Question

f: ℝ_>0 →ℝ_>0, f(x)=ⁿ√x  mit n∈ℕ

If(x)-f(x_o)I=...Umformungen...=I(x-x₀I) /( ⁿ√x + ⁿ√x₀ )_...

Jetzt kann ich mithilfe des delta abschätzen, dabei habe ich aber Problem

Vorschlag:

If(x)-f(x_o)I=...Umformungen...=I(x-x₀I) /( ⁿ√x + ⁿ√x₀ )< δ/ⁿ√x₀

Answer 1

du könntest dir überlegen warum für \(x,y \in \mathbb{R}_{>0} \) gilt:

$$ |\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y} |\leq \sqrt[n]{|x-y|} $$

und diese Ungleichung dann für eine sinnvolle Abschätzung verwenden.

Gruß

Comments

If(x)-f(x_o)I=...Umformungen...=I(x-x₀)I /I( ⁿ√x + ⁿ√x₀ )I< I(x-x₀)I /I( ⁿ√x + ⁿ√x₀ )I ≤

Iⁿ√x- ⁿ√x₀ I ≤ ⁿ√(Iⁿ√x - ⁿ√x₀I) Wie kommst du auf diese Ungleichung, eigentlich müsste ich hier doch etwas umformen I( ⁿ√x + ⁿ√x₀ )I ?

Es gilt, weil:

ⁿ√x ≤ x

ⁿ√x₀ ≤ x₀

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Ich hab deine "Umformungen" ignoriert, weil sie falsch und nicht nachvollziehbar sind. Ich würde dir raten diese in den Papierkorb zu werfen und einen Neuanfang zu wählen. Zum Beispiel mit dem Ansatz aus meiner Antwort.

Vielleicht wäre hier für dich interessanter zuerst anzunehmen, dass die Ungleichung aus meiner Antwort richtig ist und dann das zu zeigen was du eigentlich wolltest. Nachdem das geklappt hat brauchst du nur zu zeigen das die Ungleichung richtig ist.

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If(x)-f(x_o)I=Iⁿ√x - ⁿ√x₀ I=I[(ⁿ√x - ⁿ√x₀ ) (ⁿ√x + ⁿ√x₀ )]/ (ⁿ√x + ⁿ√x₀ )=I(x-x₀I) /( ⁿ√x + ⁿ√x₀ )<

aso, dritte binomische Formel geht hier nicht, sry das war nicht sehr clever...keine Ahnung wie ich darauf gekommen bin

If(x)-f(x_o)I=Iⁿ√x- ⁿ√x₀ I ≤ ⁿ√(Ix - x₀I) < ⁿ√ δ < δ =ε , also gleichmäßig stetig...könnte ich so etwas machen? Ich mach es zum ersten Mal und kenne die Regeln noch nicht so gut bzw. die Anwendung fällt mir schwer. δ kann von x_o und ε  abhängen, dass wäre doch in dieser Abschätzung gegeben oder?

Du hast die umgekehrte Dreiecksgleichung benutzt oder?

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Du musst vorsichtig sein deine letzte Abschätzung  gilt nur wenn delta größer als 1 ist. Ja das delta ist von epsilon abhängig, nicht von x0. Wähle zum Beispiel

δ=ε^n

Was die Ungleichung betrifft. Solltest du Probleme haben kannst du gerne hier nachlesen

https://www.mathelounge.de/231744/es-sei-0-a-b-und-und-zeigen-muss-ich-0-wurzel-a-wurzel-b-wurzel-b-a