Flächenstück berechnen bei Funktion f(x)=4/x mit Tangente an Stelle x=4

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f durch \( f(x) = \frac{4}{x} \)

Der Graph von f, dessen Tangente an der Stelle x=4 und die Gerade mit der Gleichung x=1 begrenzen zusammen ein Flächenstück.

Berechnen Sie dessen Inhalt.

Answer 1

Tangente:

\( m=f^{\prime}(x) \)
\( f^{\prime}(x)=-4 x^{-2} \)
\( f^{\prime}(4)=-\frac{4}{16}=-\frac{1}{4} \)
\( f_{T}=m x+n \)
\( l=-\frac{1}{4} · 4+n \Rightarrow n=2 \)
\( f_{T}=-\frac{1}{4} x+2 \)

Als Graph:

Gesucht ist die Fläche des "Dreiecks", welches von der roten, grünen und blauen Linie begrenzt wird.

Integralbildung: linke Grenze: 1 rechte Grenze 4

\( A=\int \limits_{1}^{4}\left\{f(x)-f_{T}(x)\right\} d x \)

\( A=\int \limits_{1}^{4}\left\{\frac{4}{x}+\frac{1}{4} x-2\right\} d x \)

\( A=\left[4 \ln |x|+\frac{x^{2}}{8}-2 x\right]_{l}^{4} \)

\( A \approx 1,42(F E) \)

ohne Gewähr