konvergente Folge √ a = limn→∞ √ an

Question

Es sei (an)_n∈N eine konvergente Folge in R mit an ≥ 0 und a := lim_n→∞ an. Zeige, dass die Folge ( √ an)_n∈N konvergiert und √ a = lim_n→∞ √an gilt.

Es gibt für jedes  Ε>0 ein N(E) ∈ℕ so dass gilt:

I a_n - aI < E * √a         Warum macht man hier noch mal √a ?

I a_n - aI  = I (√a_n -√a) (√a_n + √a) I < E*√a   Warum kann man den Betrag so auflösen?

I a_n - aI < (E√a) / ((√a_n + √a)  <= E                Wie kommt man auf die Abschätzung, dass das kleiner als E ist?

Answer 1

"I a_n - aI < E * √a         Warum macht man hier noch mal √a ? "

Damit das Endergebnis schoener aussieht, man kann es auch lassen.

"I a_n - aI  = I (√a_n -√a) (√a_n + √a) I < E*√a   Warum kann man den Betrag so auflösen?"

Hier wird kein Betrag aufgeloest, sondern das dazwischen umgeformt.

"I a_n - aI < (E√a) / ((√a_n + √a)  <= E    Wie kommt man auf die Abschätzung, dass das kleiner als E ist?"

Links fehlen die Wurzeln.Ansonsten: Wenn man durch mehr teilt, als im Zaehler steht, dann ...

Answer 2

Hallo sophi, 

Es gibt für jedes  Ε>0 ein N(E) ∈ℕ so dass gilt:

I a_n - aI < E * √a         Warum macht man hier noch mal √a ?

Benötigt man in der letzten Zeile für die Abschätzung und E • √a ist auch nur "irgendein E"

I a_n - aI  = I (√a_n -√a) (√a_n + √a) I < E*√a   Warum kann man den Betrag so auflösen? 

Binomische Formel:   a_n - a = (√a_n)²  - (√a)² = (√a_n -√a) (√a_n + √a)

I a_n - aI < (E√a) / ((√a_n + √a)  <= E                Wie kommt man auf die Abschätzung, dass das kleiner als E ist? 

Da √a_n + √a > 0 ist, kann man diesen Faktor aus dem Betrag herausziehen,

wegen √a / ((√a_n + √a) < 1   ist   (E√a) / ((√a_n + √a)  <= E   richtig.

Gruß Wolfgang

Comments

danke!

Wie sehe ich im Voraus, dass ich noch mal √a  machen muss? ( I a_n - aI < E * √a ) 

Gibt es da einen Trick? 

Im 2. Fall wen a=0 schreibt man Ia_n-0I <E² 

Wie weiß ich hier, dass ich E zum Quadrat nehmen muss? 

Ich bin mir bei den Aufgaben nicht sicher, wie ich vorgehen soll.

Grüße

Sophie