Integralrechnung: Die Länge eines Drahtes...

Question

Huhu, ich muss noch einmal eine Frage stellen, da ich leider keine Ahnung zu dieser Aufgabe habe.

"Ein Draht mit der Form einer Viertelellipse (Halbachsen der Ellipse "a" entlang der x-Achse, "b" entlang der y-Achse). Die Länge s ist:

Zeigen sie das:

Die Länge des Drahtes in kartesischen Koordinaten ist und es sich zu:

substituieren lässt.

Wobei: ε=1-b²/a² ist. (Polare Form)

Vielleicht könnt ihr mir ja auf die Sprünge helfen, ich habe keine Ahnung was dort zu tun ist, und will auch nicht wieder bis zur Vorlesung am Montag warten, da ich sonst wieder in zeitliche Probleme mit dem bearbeiten und der Abgabe komme.

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Also, mittlerweile bin ich soweit das:

Womit kann ich jetzt substituieren das ich meine Gleichung:

erhalte?

Als Tipp habe ich bekommen, das ich doch mit

  

substituieren sollte da im Nenner sich umformen lässt:

Aber wie bekomme ich dann im Zähler mein z² zusammen?

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Das Problem hat sich von selbst gelöst, für diesen Teil der Aufgabe habe ich eine Lösung gefunden. Nur geht es jetzt weiter mit der Umwandlung in Polarkoordinaten bzw. in ein elliptisches Integral?

Answer 1

Bei y = f(x) ist die Bogenlänge von x1 bis x2

Integral  von x1 bis x2 über wurzel ( 1 + (y ' )^2  ) dx.

Elipse:  x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 gibt (für den 1. Quadranten)

y  = ( b/a )*wurzel(a^2 -x^2)  

also y ' =  -b*x / ( a * wurzel(a^2 - x^2 ) )

also (  y ' )^2   = (- b^2/a^2 ) * x^2 / (x^2 - a^2 )  

s= Integral  von 0 bis a über wurzel ( 1 + (y ' )^2  ) dx

= Integral  von 0 bis a über wurzel ( 1 - (b^2/a^2)*   x^2 / (x^2 -a^2) ) dx

weiter weiss ich momentan auch nicht.

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Ich bin für jede Hilfe dankbar, ich versuche es mal nachzuvollziehen.