Konvergenzbereich von Reihen bestimmen. Summe von (2^n/n^2) * z^n usw.

Question

:)

Die folgede Aufgabe bereitet mir gerade leider einige Schwierigkeiten. Ich habe auch dem Skript bereits die Formel für den Konvergenzradius herausgefunden und ich weiß auch, dass man die Konvergenz mit verschiedenen Kriterien untersuchen kann.

Wie ich das jetzt aber explizit berechne/bestimme ist mir trotz studium des Vorlesungsskriptes noch etwas schleierhaft.

Wäre dankbar für eine kleine Anleitung wie ich hier vorzugehen habe und wie das geht 

Comments

Was hindert Dich bei der (a) daran, die Formel von Cauchy/Hadamard anzuwenden?

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dieser Begriff sagt mir leider nichts

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Dann schlag ihn in Deinen Unterlagen nach.

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habe ich gerade. Der Begriff ist bei uns noch nicht eingeführt worden

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ok, bei uns ist das einfach die formel für den konvergenzradius und hat nicht diesen namen.

was soll ich denn dann bei der a machen?

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Den Koeffizienten a_n identifizieren und in die Formel einsetzen. Dann ausrechnen.

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wie identifiziere ich denn an?

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Vergleiche, was bei (a) steht mit \(\sum a_n z^n\).

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ich habe dann also als Konvergenzradius:

limsup(2/nte√n^2)

und dann?

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Die Formel ergibt $$r=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n/n^2}}.$$Das ist was anderes als das, was Du aufgeschrieben hast.

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nein, genau das meinte ich.
aber wie rechne ich da jetzt weiter, also wie bekomme ich den limsup davon raus?
Daran scheitert es im moment noch bei mir

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Der \(\limsup\) ist der groesste Hauefungswert. Bei einer konvergenten Folge faellt er mit dem \(\lim\) zusammen.

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vielen Dank, den zusammenhang kannte ich noch nicht. Das hilft schonmal sehr weiter :)

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nun ist noch die frage was ich mache wenn die folge nicht konvergent ist

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Den groessten Haeufungswert der Folge bestimmen. Haeufungswerte waren bestimmt schon dran.

Man verschafft sich dazu z.B. einen Ueberblick ueber alle konvergenten Teilfolgen. Der groesste Limes, den man dabei findet, ist der Limes superior.

In der Mehrzahl der Aufgaben kommt man wie hier mit \(\lim\) statt \(\limsup\) durch.

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ich hab jetz bei der a) raus der der konvergenzradius 0,5 ist.

nun ist ja in der aufgabe gefragt für welche z die folge konvergiert. wie mache ich das nun?

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Schlag nach, was Konvergenzradius bedeutet, und warum der ausgerechnet so heisst. :)

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bei a wäre es dann doch

-2 ≤ z ≤2 oder?

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Wenn da \(z\) steht, dann soll \(z\in\mathbb{C}\) gelten (sagt die Aufgabe). Bezueglich komplexer Zahlen ergibt die Aussage \(-2\le z\le2\) keinerlei Sinn.

Zum anderen solltest Du den relevanten Satz ueber die Konvergenz von Potenzreihen noch mal konsultieren. Insbesondere zum Thema Randpunkte.

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ok,bezüglich der randpunkte müsste ich ja z einsetzen und mir dann die Folge ansehen?

bezüglich der komplexen Zahlen: Ich dachte das wäre 2+0i, deswegen habe ich 2 und -2 hingeschrieben. ist das falsch?

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\(2\) ist ueberhaupt falsch, wenn \(1/2\) der Konvergenzradius ist. Und dann ist \(\mathbb{C}\) nicht anordenbar. Man kann also keine Groesser-/Kleinerrelation für komplexe Zahlen haben. Erklaere doch spasseshalber mal, was \(z>i\) bedeuten soll.

Um die Sache etwas abzukuerzen: Die Reihe konvergiert für \(|z|<1/2\) und sie divergiert für \(|z|>1/2\). Fuer \(|z|=1/2\) gibt der allgemeine Satz nichts her, das musst Du noch von Hand nachpruefen.

Tipp: Skizziere die drei Bereiche in der komplexen Ebene!

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bei der 2 hatte ich das 1/ vergessen^^

Es heißt doch das die Reihe konvergiert wenn z < 1 und divergiert wenn z> 1.

Warum hast du da jetzt jeweils 1/2 stehen??

Soweit ich das verstanden habe, gibt doch der konvergenzradius einen Kreis an, in dem die Folge konvergiert oder?

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"Soweit ich das verstanden habe, gibt doch der konvergenzradius einen Kreis an, in dem die Folge konvergiert oder?"

Und der Radius dieses Kreises ist 1/2, ganz wie oben ausgerechnet. (Ausserdem reden wir hier von einer Potenzreihe, nicht von einer Folge.)

Hast Du Dein Bild gemalt?

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ja, mein bild habe ich gemalt, aber ganz durchblicken tue ich beim imaginären trotzdem nicht :(

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~draw~ kreis(0|0 10){111};kreis(0|0 0.5){0C0};kreis(0|0 0.5){F00}#;text(0.4 0.4 "|z|=1/2"){F00};text(0.7 0.8 "|z|>1/2"){000};text(0.1 -0.2 "|z|<1/2"){000};zoom(1) ~draw~

Geklaert ist bisher, dass die Potenzreihe im gruenen Bereich konvergiert und im grauen Bereich divergiert. Noch zu untersuchen ist der ganze rote Rand.

Viel Spass dabei!

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ok, ich habe jetzt 2 ideen dazu. Meine Zeichnung sah identisch aus :)

1. Ich setze 0,5 für z ein und untersuche dann irgendwie auf konvergenz

2. Ich benutze irgendeine Gleichung für einen Kreis ???

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"Ich setze 0,5 für z ein und untersuche dann irgendwie auf konvergenz"

Ist immerhin ein guter Anfang. Allerdings wirst Du dazu noch etwas mehr sagen muessen. Dass der rote Rand nicht nur aus z=0,5 besteht, sieht ja jeder Blinde.

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zwischenfrage:
Liegt es an den komplexe Zahlen das ich nicht einfach z=0.5 einsetzen kann ?

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Gegenfrage: Wie viele komplexe Zahlen liegen auf dem roten Rand? Kannst Du ein paar explizit angeben?

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Vorausgesetzt, dass die y achse wie üblich den imaginärteil darstellt, wären das z.b. 0,5i und -0,5i

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Die wollen auch auf Konvergenz untersucht werden werden. Zusammen mit den unendlich vielen anderen. Tipp: Untersuche doch statt auf Konvergenz auf Absolutkonvergenz.

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absolute konvergenz bedeutet doch das ich den Betrag von a_n nehme.

Aber ich weiß nicht wie ich das nutzen kann, da ja z nicht direkt etwas mit a_n zu tun hat

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Absolutkonvergenz bedeutet hier, dass Du \(\sum |a_nz^n|\) auf Konvergenz untersuchst. Sollte da für \(|z|=1/2\) was postives bei rauskommen, dann konvergiert auch \(\sum a_n z^n\) für \(|z|=1/2\).

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wenn ich den Betrag vom ganzen Ausdruck nehme, kann da doch gar nichts negatives rauskommen ;)

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Die Untersuchung auf Konvergenz koennte zu einem positiven oder auch einem negativen Ergebnis fuehren. Ich glaube nicht, dass das was damit zu tun hat, ob alle Glieder positiv sind.

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ok. wie untersuche ich die konvergenz jetzt?

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weiß gerade nicht wie es weitergehen soll :(

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Hast du alle ca. 40 Kommentare gelesen? 

Geht es immer noch um a) ? 

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ich hab ca. die Hälfte aller Kommentare geschrieben, also ja :)

Und es geht ja um alle Aufgaben, aber ich denke wenn ich a verstehe klappt auch der Rest :)

Ich weiß ja nun wie ich den Konvergenzradius bestimme und was er bedeutet, aber wie ich das jetzt genau mit dem Rand und den komplexen Zahlen mache, erschließt sich mir immer noch nicht. In meinen Büchern steht immer nur für die Reellen zahlen, die ich den Konvergenzradius einsetzen soll um die Grenzen zu untersuchen.

Wenn ich also jetzt eine reelle Zahl hätte, würde ich einsetzen und die dann erhaltene Formel mithilfe von Kriterien auf Konvergenz überprüfen.

Aber wie mache ich das jetzt hier in dem Fall?

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Weierstrasssches Majorantenkriterium: $$\left|\sum\frac{2^n}{n^2}z^n\right|\le\sum\left|\frac{2^n}{n^2}z^n\right|=\sum\frac{1}{n^2}<\infty\quad\text{fuer $|z|=\frac{1}{2}$}.$$

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darf ich jetzt z doch einsetzen??

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Nein, |z|. Ausserdem mit dem richtigen Argument.

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aber der betrag von 0,5 ist doch 0,5

Und was meinst du für ein Argument?

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Wer einen Beweis fuehren will, der braucht Argumente. Ohne passendes Argument ist mit Einsetzen von z=0.5 nur bewiesen, dass die Reihe für z=0.5 konvergiert. Tatsaechlich konvergiert sie aber für alle z mit |z|=0.5.

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Also nehme ich den Betrag weil es ein Kreis ist mit Radius 0, 5

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also ich setze jetzt einfach in dieses Weierstr. Maj. Betrag z ein, also 0.5 ??