Erzeugendensystem, ja, nein?

Question

hallo

wenn diese Teilmengen Erzeugendensysteme von R^3 sind, so könnte man mit den Vektoren aus der Teilmenge alle Vektoren von R^3 durch Linearkombination darstellen.

Ich würde jetzt grob sagen, dass diese Vektoren eine Basis sein müssen. ( R^3 muss ja mindestens von drei (linear unabhängigen) Vektoren aufgespannt werden) Und hier gibt es nur drei Vektoren in den Teilmengen, zu prüfen wäre, ob sie linear unabhängig sind...

ich möchte es "schön" aufschreiben, und meine Begründung für das Vorgehen oben klingt nicht so gut.

Danke für jede Antwort!

Answer 1

Prima Idee: Du prüfst die lin. Unab. und argumentierst wie oben.

Diese prüft man am einfachsten so:

seien die drei Vekotren bei V1  u1,u2 und u3 dann kommt der Ansatz

x*u1 + y*u2 + z*u3 = 0  ( 0-Vektor von R^3 ). Das gibt das LGS

x+y+z=0
x    +4z=0
2x+y+5z= 0 

Das hat (kannst du ja ausrechnen) z.B die Lösung x=-4 und y=3 und z=1,

also sind die Vektoren lin.abh. bilden keine Basis also auch kein Erz.syst. von R^3.

Im 2. Fall gibt es NUR die Lösung x=0 und y=0 und z=0, also sind sie

l.u. und bilden eine Basis von R^3.