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Fragestellung lautet

Prüfe Funktion auf Mini und Maximum in [-1 und 3]
f(x) = x/(2+x^2)

mein Ansatz
1 und 2 Ableitung über Quotientenregel erstellt
(u/v)´= (u´*v–u*v´)/v^2

u = x
u´ = 1
v = (2+x^2)
v´ = 2x

1. Ableitung:

f ´(x) = (1*(2+x^2)-x*2x)/(2+x^2)^2

f ´(x) = 2+x^2-2x^2/(2+x^2)^2
f ´(x) = 2-x^2/(2+x^2)^2

2. Ableitung:

u = 2-x^2
u´= -2x
v = (2+x^2)^2 -> Kettenregel
v´= 2*(2+x^2)*2x = 4x*(2+x^2)

f´´(x) = (-2x*(2+x^2)^2–(2-x^2)*4x*(2+x^2))/(2+x^2)^4

f´´(x) = (-2x*(2+x^2)-(2-x^2)*4x)/(2+x^2)^3

f´´(x) = (-4x-2x^3–8x+4x^3)/(2+x^2)^3

f´´(x) = (2x^3-12x)/(2+x^2)^3

Ein Hochpunkt liegt vor, wenn gilt:
f´(x0)=0 und f´´ (x0)<0
Ein Tiefpunkt liegt vor, wenn gilt:
f´(x0)=0 und f´´(x0)>0
Um Extremstellen zu ermitteln setz ich die erste Ableitung Null, sprich f´(x) = 0. Dadurcherhalte ich einen oder mehrere X-Werte. Diese X-Werte einsetzen in die zweite Ableitung und prüfen damit, ob einen Hochpunkt oder Tiefpunkt vorliegt
Nullstellen liegen vor :
Ein Bruch wird immer nur dann zu Null,wenn der Zähler Null wird. Daher brauchen wir nur den Zähler = 0 setzen
f´(x) = 2- x^2 / (2+x^2)^2
Zähler: 2- x^2 = 0 /-2
- x^2 = -2 /*-1
x^2 = 2 /√
x =√2
Nullstellen gefunden bei:
X1 = +√2 &asymp;1.414213562373095
X2 = &minus;√ 2&asymp;&minus;1.414213562373095

Es liegt ein Hochpunkt vor da
f´(x0)=0 und f´´ (x0)<0
aber wie untersuche ich nun auf Minium und Maximum in [-1 und 3 ] ????
Freue mich über Hilfe
Danke
soul

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1 Antwort

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x/(2+x2)

~plot~ x / ( 2 + x^2 ) ; x =-1 ; x = 3 ; [[ -2 | 4 | -1 | 1 ]] ~plot~

Es kommt jetzt darauf an wie man die Frage versteht.
Im Intervall gibt es nur Maximum bei x = √ 2

Es gibt auch den Begriff des Randmaximums oder Randminimums.

Hierzu ist einfach einzusetzen x = -1 und x = 3 und dann nachzusehen ob ein
minimaler oder maximaler Wert herauskommt.
( bei x = -1 )

Avatar von 123 k 🚀

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