Prüfe Funktion auf Mini und Maximum in [-1 und 3] f(x) = x/(2+x^2)

Question

Fragestellung lautet Prüfe Funktion auf Mini und Maximum in [-1 und 3] f(x) = x/(2+x^2) mein Ansatz 1 und 2 Ableitung über Quotientenregel erstellt (u/v)´= (u´*v&ndash;u*v´)/v^2 u = x u´ = 1 v = (2+x^2) v´ = 2x 1. Ableitung: f ´(x) = (1*(2+x^2)-x*2x)/(2+x^2)^2 f ´(x) = 2+x^2-2x^2/(2+x^2)^2 f ´(x) = 2-x^2/(2+x^2)^2 2. Ableitung: u = 2-x^2 u´= -2x v = (2+x^2)^2 -> Kettenregel v´= 2*(2+x^2)*2x = 4x*(2+x^2) f´´(x) = (-2x*(2+x^2)^2&ndash;(2-x^2)*4x*(2+x^2))/(2+x^2)^4 f´´(x) = (-2x*(2+x^2)-(2-x^2)*4x)/(2+x^2)^3 f´´(x) = (-4x-2x^3&ndash;8x+4x^3)/(2+x^2)^3 f´´(x) = (2x^3-12x)/(2+x^2)^3 Ein Hochpunkt liegt vor, wenn gilt: f´(x0)=0 und f´´ (x0)<0 Ein Tiefpunkt liegt vor, wenn gilt: f´(x0)=0 und f´´(x0)>0 Um Extremstellen zu ermitteln setz ich die erste Ableitung Null, sprich f´(x) = 0. Dadurcherhalte ich einen oder mehrere X-Werte. Diese X-Werte einsetzen in die zweite Ableitung und prüfen damit, ob einen Hochpunkt oder Tiefpunkt vorliegt Nullstellen liegen vor : Ein Bruch wird immer nur dann zu Null,wenn der Zähler Null wird. Daher brauchen wir nur den Zähler = 0 setzen f´(x) = 2- x^2 / (2+x^2)^2 Zähler: 2- x^2 = 0 /-2 - x^2 = -2 /*-1 x^2 = 2 /√ x =√2 Nullstellen gefunden bei: X1 = +√2 &asymp;1.414213562373095 X2 = &minus;√ 2&asymp;&minus;1.414213562373095 Es liegt ein Hochpunkt vor da f´(x0)=0 und f´´ (x0)<0 aber wie untersuche ich nun auf Minium und Maximum in [-1 und 3 ] ???? Freue mich über Hilfe Danke soul

Answer 1

x/(2+x²)

~plot~ x / ( 2 + x^2 ) ; x =-1 ; x = 3 ; [[ -2 | 4 | -1 | 1 ]] ~plot~

Es kommt jetzt darauf an wie man die Frage versteht.
Im Intervall gibt es nur Maximum bei x = √ 2

Es gibt auch den Begriff des Randmaximums oder Randminimums.

Hierzu ist einfach einzusetzen x = -1 und x = 3 und dann nachzusehen ob ein
minimaler oder maximaler Wert herauskommt.
( bei x = -1 )