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Wir betrachten in R3 \mathbb{R}^{3} die Vektoren v1=(110),v2=(011),v3=(001),v4=(100) v_{1}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right), v_{4}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)

Sei U1=L(v1,v2) U_{1}=\mathcal{L}\left(v_{1}, v_{2}\right) die lineare Hülle von v1,v2 v_{1}, v_{2} und sei U2=L(v3,v4). U_{2}=\mathcal{L}\left(v_{3}, v_{4}\right) .

Geben Sie eine Basis für U1U2 U_{1} \cap U_{2} und eine Basis für U1+U2 U_{1}+U_{2}

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Eine Definition für U1 + U2, die Summe von Untervektorräumen, findet man hier: https://www.mathelounge.de/29923/beweise-dass-v1-1-i-v2-1-i-1-i-in-v…

Lineare Hülle und span in den ähnlichen Fragen (und Antworten) bedeutet wohl dasselbe.

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Basis für U1U2U_1 \cap U_2:

Um eine Basis für den Schnitt U1U2U_1 \cap U_2 zu finden, muss man herausfinden, ob gemeinsame Vektoren in den linearen Hüllen von U1U_1 und U2U_2 existieren. Gegeben sind die Vektoren v1,v2v_1, v_2 für U1U_1 und v3,v4v_3, v_4 für U2U_2.

Da U1U_1 und U2U_2 durch unterschiedliche Vektoren erzeugt werden, die jeweils nicht Linearkombinationen voneinander sind, ist es intuitiv zu sehen, dass es keine Vektoren gibt, die gleichzeitig in U1U_1 und U2U_2 mittels Linearkombination der gegebenen Basisvektoren ausgedrückt werden können. v3v_3 und v4v_4 generieren alle Vektoren in R3\mathbb{R}^{3}, die orthogonal zu v1v_1 und v2v_2 betrachtet, keine Schnittmenge aufweisen, außer dem Nullvektor, der stets in beiden Unterräumen enthalten ist.

Deshalb besteht die Basis für U1U2U_1 \cap U_2 nur aus dem Nullvektor.

Basis für U1+U2U_1 + U_2:

Um eine Basis für die Summe U1+U2U_1 + U_2 zu finden, betrachten wir alle Vektoren, die als Summe von Vektoren aus U1U_1 und U2U_2 generiert werden können. Praktisch bedeutet dies, dass wir die Menge aller Vektoren suchen, die aus Linearkombinationen der Vektoren v1,v2,v3,v4v_1, v_2, v_3, v_4 bestehen.

Zuerst fassen wir die Vektoren in eine Matrix zusammen, um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen:

(100111000110) \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)

Da es sich um Vektoren in R3\mathbb{R}^3 handelt und wir vermuten, dass alle vier Vektoren nicht linear unabhängig sind (weil der Raum von maximal drei Dimensionen sein kann), gehen wir wie folgt vor, um eine Basis zu finden:

1. Reduzieren der Matrix. Dies ist die vereinfachte Darstellung der Reduzierung:

(100101010011) \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)

2. Aus der reduzierten Matrix können wir sehen, dass v1v_1, v2v_2, und v3v_3 linear unabhängig sind und das ganze R3\mathbb{R}^3 aufspannen, da sie einen dreidimensionalen Raum aufspannen und die reduzierte Form linear unabhängige Zeilen zeigt. v4v_4 ist eine Linearkombination der anderen drei, daher ist es nicht nötig, ihn in die Basis aufzunehmen.

Somit ist eine Basis für U1+U2U_1 + U_2 gegeben durch die Vektoren v1v_1, v2v_2, und v3v_3:

{(110),(011),(001)} \left\{\left(\begin{array}{l}{1} {1} {0}\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}{0} {1} {1}\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}{0} {0} {1}\end{array}\right) \right\}

Dies zeigt, dass die Summe der Unterräume U1U_1 und U2U_2 den gesamten Raum R3\mathbb{R}^3 aufspannt.
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