Antwort mit KI erzeugt
Basis für U1∩U2:
Um eine Basis für den Schnitt
U1∩U2 zu finden, muss man herausfinden, ob gemeinsame Vektoren in den linearen Hüllen von
U1 und
U2 existieren. Gegeben sind die Vektoren
v1,v2 für
U1 und
v3,v4 für
U2.
Da
U1 und
U2 durch unterschiedliche Vektoren erzeugt werden, die jeweils nicht Linearkombinationen voneinander sind, ist es intuitiv zu sehen, dass es keine Vektoren gibt, die gleichzeitig in
U1 und
U2 mittels Linearkombination der gegebenen Basisvektoren ausgedrückt werden können.
v3 und
v4 generieren alle Vektoren in
R3, die orthogonal zu
v1 und
v2 betrachtet, keine Schnittmenge aufweisen, außer dem Nullvektor, der stets in beiden Unterräumen enthalten ist.
Deshalb besteht die Basis für
U1∩U2 nur aus dem Nullvektor.
Basis für U1+U2:
Um eine Basis für die Summe
U1+U2 zu finden, betrachten wir alle Vektoren, die als Summe von Vektoren aus
U1 und
U2 generiert werden können. Praktisch bedeutet dies, dass wir die Menge aller Vektoren suchen, die aus Linearkombinationen der Vektoren
v1,v2,v3,v4 bestehen.
Zuerst fassen wir die Vektoren in eine Matrix zusammen, um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen:
(100111000110)
Da es sich um Vektoren in
R3 handelt und wir vermuten, dass alle vier Vektoren nicht linear unabhängig sind (weil der Raum von maximal drei Dimensionen sein kann), gehen wir wie folgt vor, um eine Basis zu finden:
1. Reduzieren der Matrix. Dies ist die vereinfachte Darstellung der Reduzierung:
(1001010−10011)
2. Aus der reduzierten Matrix können wir sehen, dass
v1,
v2, und
v3 linear unabhängig sind und das ganze
R3 aufspannen, da sie einen dreidimensionalen Raum aufspannen und die reduzierte Form linear unabhängige Zeilen zeigt.
v4 ist eine Linearkombination der anderen drei, daher ist es nicht nötig, ihn in die Basis aufzunehmen.
Somit ist eine Basis für
U1+U2 gegeben durch die Vektoren
v1,
v2, und
v3:
{(110),(011),(001)}
Dies zeigt, dass die Summe der Unterräume
U1 und
U2 den gesamten Raum
R3 aufspannt.