Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung

Question

Für n ≥ 3 und α ∈ Rⁿ \ {0} berechne man alle partiellen Ableitungen 1. und 2.

Ordnung der Funktion

f: $${ R }^{ n }\diagdown \{ 0\} \rightarrow R,\quad \quad x\mapsto |x|^{ \alpha  }$$

sowie ∆f(x):= div gradf(x)=

$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial { x }_{ i }^{ 2 } }  }$$ und bestimme denjenigen Wert α (in Abhängigkeit von n), für den f der Laplace-Gleichung

∆f = 0

genügt. (Der Operator ∆ heißt Laplace-Operator, die Lösungen der Laplace-Gleichung werden als harmonische Funktionen bezeichnet.) 

 

Comments

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe, brauche noch Punkte für die Zulassung.

Bitte helft mir..

Answer 1

Hi, ich nehme an, dass \( |x| \) als die \( \|  \cdot \|_2\) Norm (euklidische Norm) \( \| x \|_2^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 \)definiert ist.
Dann gilt
$$ \frac{\partial}{\partial x_i} |x|^\alpha = \alpha \|x\|_2^{\alpha-2}x_i $$
und für \( \frac {\partial^2}{\partial x_i^2} |x|^\alpha \) gilt dann
$$ \frac {\partial^2}{\partial x_i^2} |x|^\alpha = \frac{\partial}{\partial x_i} \alpha \|x\|_2^{\alpha-2}x_i = \alpha\left[ (\alpha - 2) \| x \|_2^{\alpha - 4}  x_i^2 + \| x \|_2^{\alpha-2} \right] = $$

$$ \alpha \| x \|_2^{\alpha - 2} \left[ (\alpha-2\|x\|_2^{-2} x_i^2+1 \right] $$ und deshalb gilt
$$ \Delta |x|^\alpha =  \alpha \| x \|_2^{\alpha - 2} \left[ \alpha - 2 + n \right] $$

Comments

Hi ullim. Kleine Anmerkung: Man nennt dies die euklidische Norm, die L^2-Norm ist anders definiert  (insbesondere ist der L^2-Raum ein Funktionenraum). Vielleicht meinst du auch die l^2 Norm also mit kleinem l. Diese kenne ich zwar nur als Bezeichnung für Folgenräume würde aber gerne wissen ob sie als Bezeichnung für endlich erzeugte Vektorräume auch verwendet wird.

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Hi Yaku, habe das korrigiert. Ich denke, da die Aufgabe für den \( \mathbb{R^n} \) formuliert ist, ist die euklidische Norm die richtige. Die \( \ell^2 \) Norm für Folgenräume wäre ja schon als \( \| x \|_{\ell^2}^2 = \sum_{k=1}^\infty x_k^2 \) definiert. Und auch mit der \( L^2 \) Norm hast Du Recht, dort ist die Norm ja als \( \| f\|_\mathcal {L^2}^2 = \int |f(x)^2 dx \) definiert.