ich versuche gerdade eine DGL 1. Ordnung zulösen, von der ich zwar die Lösung als Kontrolle habe, jedoch bei der Rechnung nicht weiter komme.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Durch die Differentialgleichung 1. Ordnung
m*(dv/dt) + kv = mg
wird die Sinkgeschwindigkeit v eines Teilchens der Masse m in einer Flüssigkeit beschrieben ( k: Reibungsfaktor, g: Erdbeschleunigung).
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung v = v(t) durch Trennung der Variablen.
Die Lösung lautet:
v(t) = C * e^-(k/m)t + mg/k
Meine folgenden Schritte waren:
m*(dv/dt) + kv = mg
m*(dv/dt) = mg - kv I:m
dv/dt = g - kv/m
dv/dt = g*(1 - kv/mg)
Substitution:
x = kv/mg I :v
x/v = k/mg
dx/dv = k/mg
dv = mg/k dx
Daraus folgt:
dv/dt = g*(1-x)
Einfügen von dv:
mg/k dx/dt = g*(1-x) I :g
m/k dx/dt = (1-x)
m/k ∫ 1/(1-x) = ∫dt
m/k * ln (1-x) + ln C = t
m/k * ln ((1-x) * C) = t
ln ((1-x) * C) = (k/m) t I e
(1-x)*C = e^{k/m}t
1/(1-x) = C*e^-(k/m)t
und weiter komme ich leider nicht.
Durch die Substitution x = kv/mg, müsste ich dies noch einsetzen, aber ich komme trotzdem nicht auf das richtige Ergebnis.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiter helfen würde. Ich habe schon ein paar Stunden daran verbracht und komme einfach nicht mehr weiter.
Gruß
Daniel
