Aufgabe mit potenzreihe bzgl Konvergenz und divergenz

Question

Kann jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Wie kann man das zeigen?

Comments

Mit dem Wurzelkriterium.

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Wenn ich das wurzelartigerem anwende, dann steht da noch a_n(x-x_0)

Wie muss man dann weitermachen?

Answer 1

wurzelkrit. für Reihen sagt doch:

Reihe abs. konvergent, wenn lim sup n-te wurzel ( |an| )  < 1

also hier , wenn etwa lim sup n-te wurzel ( |an| )= g

(erst mal g aus IR ohne {0}) .

dann ist  lim sup n-te wurzel ( |an*(x-xo)^n| )

=| (x-x0) | * lim sup n-te wurzel ( |an| ) = |x-xo| * g

und damit das <1  ist muss

|x-xo| * g < 1

|x-xo|  < g-1  gelten. also

x aus ( xo - g ;  xo + g ).

und für g = ∞ bzw. 0 entsprechend.

Comments

Eine Frage : meinst du mit dem g dies Zeichen das ich in der Aufgabe verwendet habe?

Jetzt wurde ja der erste Teil der Aufgabe bewiesen,aber wie zeigt man jetzt, dass es für alle x∈ℝ \ [xo-g;so+g] divergiert?

Und in der Formel für "g" steht ja hoch minus eins, das wurde jetzt nicht weiter beachtet oder? Zumindest finde ich es nicht ...

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|x-xo|  < g-1  gelten. also 

steht für

|x-xo|  < g^{-1} 

Daher nächste Zeile

x aus ( xo - g^{-1}  ;  xo + g^{-1}  ). 

Das g steht oben übrigens für das griechische rho^{-1} = ρ^{-1}. 

Daher zum Schluss

x aus ( xo - ρ  ;  xo + ρ  ). 

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Wie kommst du von "x aus(xo-g^-1;xo+g^-1)  " auf "x aus(xo-g;xo+g) ?

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"g steht oben übrigens für das griechische rho^-1 = ρ^-1. "

Daher

g^{-1} steht oben übrigens für das griechische rho = ρ. 

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Ja das weiß ich,aber ich kann das Zeichen nicht machen, ich wollte nur wissen wie du auf den Schluss Schritt kommst

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|x-xo|  < g^-1 

Bedeutet : Der Abstand der erlaubten x vom "Zentrum" xo ist kleiner als g^{-1} . 

Das gibt dann automatisch das angegebene Intervall.  

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Und wie zeigt man dann wenn dieses Intervall raus genommen wird,das es dann divergiert?

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Das steckt auch im Wurzelkriterium:

Für Werte > 1 divergiert es.