Potenzreihen, Konvergenz, Divergenz

Question

Aufgabe:

Bestimme alle x ∈ R, für die folgende Potenzreihen konvergieren

Hinweis: Verwenden Sie das Wurzelkriterium und \( \sqrt[n]{\frac{1}{2}} \leq \sqrt[n]{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n}} \leq 1 \)

Problem/Ansatz:

y)
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k !}{2^{k}+1}(x+3)^{k}= \)
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{k !}{2^{k}+1}(x+3)^{k}}<1 \Rightarrow \frac{\infty}{2} \)

\( \text { 3) } \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}-1}{2^{k}}(x-4)^{k} \)
1. Fall
\( \begin{aligned} x-4 \geqslant 0 \Longleftrightarrow|x-4|=& x-4<2 \\ & x<6 \end{aligned} \)
2.Fall
\( \begin{array}{l} x-4<0 \Leftrightarrow|x-4|<0=-(x-4)<2 \\ x-4>-2 \\ x>2 \\ \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}-1}{2^{k}}(x-4)^{k}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{k}-1}{2^{k}} h^{k}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} k^{k}-1 \\ =-1+\sum \limits_{k=1}^{\infty} k^{2}-1 \geqslant-1+\sum \limits_{k=1}^{\infty} k^{2}-\frac{1}{2} k^{2}=-1+\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} k^{2}=-1+\frac{1}{2} \sum \limits_{k=1}^{\infty} k^{2} \Rightarrow \text { divergent } \\ \end{array} \)

Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob ich die Aufgaben richtig berechnet habe? Oder könnt ihr mit mir die Aufgaben SCHRITTWEISE durchgehen bitte.

Comments

Bei Deinen Posts sollte mal grundsätzlich geklärt werden, ob Du weißt, was der Konvergenzradius ist.

Weiter ist es eher üblich, den Konvergenzradius für eine Potenzreihe

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k$$

über Formeln zu berechnen, die sich nur auf die Koeffizienten \(a_k\) beziehen. Habt Ihr das nicht so gemacht?

Die Information

$$|x-a|<r \iff a-r<x<a+r$$

ist Standard-Wissen und braucht nicht jedesmal ausgeführt werden.

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Ne, wir haben das nie so mit dem Konvergenzradius bestimmt. Kann man die Aufgaben nicht anders lösen, also ohne den Konvergenzradius? Weil in der VO war nie die Rede davon.

Answer 1

Hallo

du willst doch den Konvergenzradius bestimmen, da hat (x+a)^k keine Rolle, du bestimmst ihn aus dem Quotienten oder Wurzelkriterium. r=1/limsup\( \sqrt[n]{a_n} \)

was du gemacht hast versehe ich nicht. da steht < 1=> ∞/2 was soll das bedeuten?

bei 3 taucht ausser den erstmal unnötigen Fallunterscheidungen statt k^2 plötzlich k^k auf?

bei 3 verwende die k te Wurzel und den GW von nte Wurzel n gegen oo =1

wenn du dann r hast dann weisst du |x-4|< r und dannsuchst du daraus für welche x es konvergiert.

für 2 gibt es kein x so dass es konvergiert, 3 gibt es x innerhalb r

Gruß lul