Zur Konvergenz an den Rändern, also hier in den Fällen \(x=-1\) und \(x=-3\) macht der Konvergenzradius leider keine Aussage. Daher musst du beide Fälle explizit untersuchen:$$p_{-3}(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{k^2-1}{k^4+2}\quad;\quad p_{-1}(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2-1}{k^4+2}$$
Im Fall von \(p_{-1}(x)\) kannst du den Term nach oben abschätzen. Wir machen den Zähler größer und den Nenner kleiner. Jede Maßnahme für sich vergrößert den Bruch, daher ist:$$p_{-1}(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2-1}{k^4+2}<\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2}{k^4}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
Im Fall von \(p_{-3}(x)\) reicht es nach dem Leibnitz-Kriterium zu zeigen, dass die Folge der$$a_k=\frac{k^2-1}{k^4+2}$$eine monotone Nullfolge bildet. Die Nullfolge ist klar. Die Monotonie auch. Wegen \(a_1=0\) betrachte den Fall \(k\ge2\). Dafür wächst der Nenner schneller als der Zähler, sodass die Folge ab \(k\ge2\) streng monoton fallend ist. Das heißt, auch \(p_{-1}(x)\) konvergiert.
Du kannst also den Konvergenzbereich der Potenzreihe erweitern:$$-1\le x\le-3$$