Potenzreihen (Konvergenz, Divergenz)

Question

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung: Ich soll hier die Menge aller Punkte x£R bestimmen, für welche Potenzreihe konvergiert.

Aufgabe:

$\begin{array}{l} \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}-1}{k^{4}+2}(x+2)^{k} \\ \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{k^{2}-1}{k^{4}+2}(x+2)^{k}}<1 \\ \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{k^{2}-1}{k^{4}+2}}|x+2|=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{\frac{\sqrt{k^{2}-1}}{k}}{\sqrt{k^{4}+2}}|x+2|=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{1} \cdot|x+2|<1 \\ \end{array}$
Fallunterscheidung:
$|x+2|<1$
1. $x+2 \geqslant 0$
$\begin{aligned} |x+2|=& x+2<1 \\ & x<-1 \end{aligned}$
2. $x+2<0$
$\begin{array}{r} |x+2|=-(x+2)<1 \\ x+2>-1 \\ x>-3 \\ x \in(-3,-1) \end{array}$
Randpunkte:
1. Fall:
$x=-1 \Rightarrow \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}-1}{k^{4}+2}(-1+2)^{k}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}-1}{k^{4}+2}(1)^{k} \Rightarrow \text { divergiert }$
2. Fall:
$\begin{aligned} x=-3 \Rightarrow & \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}-1}{k^{4}+2}(-3+2)^{k}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{t^{2}-1}{k^{4}+8}(-1)^{k} \Rightarrow \text { divergiert } \\ & \Rightarrow x \in(-1,-3) \end{aligned}$

Problem/Ansatz:

Wie erkenne ich hier, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. So grob kann ich erkennen, ob die Reihe divergiert/konvergiert, aber so ganz genau habe ich‘s noch nicht verstanden. Und woran erkennt man, ob die Werte im Intervall drinnen liegen oder nicht? Ich hab da noch Verständnisprobleme. Könnt ihr mir das ganze erklären und auch sagen, ob meine Berechnungen stimmen.

Answer 1

Aloha :)

Den Konvergenzradius $r$ einer Potenzreihe $\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k$ kannst du direkt ausrechnen:$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{k^2-1}{k^4+2}}{\frac{(k+1)^2-1}{(k+1)^4+2}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k^2-1}{k^4+2}\cdot\frac{(k+1)^4+2}{(k+1)^2-1}\right)$$$$\phantom r=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k^2-1}{(k+1)^2-1}\cdot\frac{(k+1)^4+2}{k^4+2}\right)=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{1-\frac{1}{k^2}}{\frac{(k+1)^2}{k^2}-\frac{1}{k^2}}\cdot\frac{\frac{(k+1)^4}{k^4}+\frac{2}{k^4}}{1+\frac{2}{k^4}}\right)$$$$\phantom r=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{1-\frac{1}{k^2}}{\left(1+\frac1k\right)^2-\frac{1}{k^2}}\cdot\frac{\left(1+\frac1k\right)^4+\frac{2}{k^4}}{1+\frac{2}{k^4}}\right)=\frac{1-0}{(1+0)^2-0}\cdot\frac{(1+0)^4+0}{1+0}=1$$

Für alle $x\in\mathbb R$ mit $|x|<r$ konvergiert die Potenzreihe sicher. Bei deinem Patienten gibt es eine Besonderheit:$$p(x)\coloneqq\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2-1}{k^4+2}(x\pink{+2})^k$$daher konvergiert die Potenzreihe für alle $x\in\mathbb R$, für die gilt:$$|x\pink{+2}|<r=1\implies -1<x+2<1\implies -3<x<-1\implies \underline{\underline{x\in(-3;-1)}}$$

Es kann sein, dass an den Rändern dieses Bereiches ebenfalls Konvergenz vorliegt. Das musst du noch individuell untersuchen.

Comments

Super, vielen vielen Dank für die Erklärung :)!!

Ich hätte dazu noch eine Frage: Warum berechnen wir hier den Konvergenzradius? Die vollständige Aufgabenstellung lautet ja: Bestimme die Menge aller Punkte x E R, für welche die Potenzreihe konvergiert.

Muss ich hier unbedingt den Konvergenzradius berechnen? Oben habe ich ja eine anderen Methode angewendet. Warum stimmt meine obige Rechnung nicht? Ich habe noch nicht verstanden, wann ich den Konvergenzradius berechnen muss und wann ich mit der obigen Methode rechnen muss.

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Deine Methode kommt zu demselben Ergebnis, ist also durchaus legitim. Ich würde die Verwendung des Konvergenzradius vorziehen, weil das gängiger Standard ist.

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Achso, verstehe. Wir haben immer die obige Variante verwendet, weshalb ich verwirrt war. Ich schau mir deine Berechnung genauer und versuche alles zu verinnerlichen. Bei Fragen melde ich mich hier wieder. Danke dir!

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Tschakabumba, es sind bereits Fragen aufgetaucht: Ich hab ja bei meiner Variante 2x divergiert hingeschrieben. Das ist ja nicht richtig. Wie müsste ich vorgehen, wenn ich mit der obigen Variante rechne? Ich hab ja bei Fall 1: k²-1/k⁴+2 * 1^k und bei Fall 2: k²-1/k⁴+2 * (-1^k). Ich kann hier ja nicht wirklich erkennen, ob die Reihe für -1 bzw. -3 konvergiert/divergiert. Wie müsste ich hier genau vorgehen?

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Zur Konvergenz an den Rändern, also hier in den Fällen $x=-1$ und $x=-3$ macht der Konvergenzradius leider keine Aussage. Daher musst du beide Fälle explizit untersuchen:$$p_{-3}(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{k^2-1}{k^4+2}\quad;\quad p_{-1}(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2-1}{k^4+2}$$

Im Fall von $p_{-1}(x)$ kannst du den Term nach oben abschätzen. Wir machen den Zähler größer und den Nenner kleiner. Jede Maßnahme für sich vergrößert den Bruch, daher ist:$$p_{-1}(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2-1}{k^4+2}<\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^2}{k^4}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

Im Fall von $p_{-3}(x)$ reicht es nach dem Leibnitz-Kriterium zu zeigen, dass die Folge der$$a_k=\frac{k^2-1}{k^4+2}$$eine monotone Nullfolge bildet. Die Nullfolge ist klar. Die Monotonie auch. Wegen $a_1=0$ betrachte den Fall $k\ge2$. Dafür wächst der Nenner schneller als der Zähler, sodass die Folge ab $k\ge2$ streng monoton fallend ist. Das heißt, auch $p_{-1}(x)$ konvergiert.

Du kannst also den Konvergenzbereich der Potenzreihe erweitern:$$-1\le x\le-3$$

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Vielen Dank für die Erklärung!

Aber den Fall p_-3(x) habe ich noch nicht gecheckt. Es ist zwar alternierend, aber warum ist das eine Nullfolge? Wegen k²(1-1/k²) / k⁴(1+2/k⁴) = 1/k²  und k gegen unendlich ergibt dann 1/unendlich = 0 ? Deswegen ist die Reihe konvergent, oder? Denke ich richtig oder bin ich komplett auf dem falschen Weg?

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Oder kann ich immer sagen: Wenn der Nenner immer schneller wächst als der Zähler, dann ist die Reihe fast immer konvergent? Du hast ja erwähnt, dass k größer gleich 2 sein muss, damit die Folge streng monoton fallen ist. Warum größer gleich 2 ? Muss ich das dazu schreiben?

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Vorsicht, es reicht für die Konvergenz der Summe nicht aus, dass die Folge eine Nullfolge ist. Bekanntes Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n\to\infty$$

Ich dachte, die Konvergenz der Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ sei bekannt? Falls ihr das noch nicht besprochen habt, kannst du die Konvergenz so zeigen:$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n^2}<1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n\cdot(n-1)}$$$$\phantom{S_N}=1+\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac1n\right)=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac1n$$$$\phantom{S_N}=1+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^N\frac1n=1+\left(\frac11+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac1n+\frac{1}{N}\right)$$$$\phantom{S_N}=2-\frac1N\stackrel{(N\to\infty)}{\to}2$$

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Die Konvergenz der Reihe ist bekannt, das haben wir schon behandelt. Was ich nicht verstehe, warum wir bei x=-3 eine Nullfolge haben. Wie hast du das erkannt? Wir haben ja eine alterniereden Folge, muss ich dann nicht den Grenzwert ausrechnen um zu zeigen, dass wir eine Nullfolge haben? Der grenzwert muss ja 0 sein. Aber wie zeige ich das für ak= \( \frac{k²-1}{k⁴+2} \). Also das Leibnitzkriterium will mir noch nicht einleuchten.

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Die Reihe für $x=-1$ konvergiert, also müssen die $a_k=\frac{k^2-1}{k^4+2}$ als notwendige Voraussetzung für die Konvergenz eine Nullfolge bilden.

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Das habe ich verstanden. Ich meine für x=-3. Das will mir noch nicht einleuchten

Answer 2

Hallo

Man bestimmt den Konvergenzradius wie du hier mit dem r=1/limsup der k ten Wurzel  der Koeffizienten (also ohne die x^k)  oder durch demQuotienten. Innerhalb des Radius  konvergiert dann (x-x*0) an den Rändern musst man es einzeln ansehen, für x+2=-1 hat man eine alternierende Reihe nach Leibniz also konvergent, bei x+2=1  hat man eine Majorante die konvergiert also auch Konvergenz (du schreibst ohne Begründung divergiert?)

Gruß lul

Comments

hier geht es ja eigentlich nicht um den Konvergenzradius, ich muss die x^k miteinbeziehen.

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Nein! der Konvergenzradius wird aus den Koeffizienten bestimm und ist der Radius in dem die  x-x0 liegen müssen also genau der Bereich nach dem du gefragt wurdest.

Gruß lul