Nullfolge als größtes Intervall

Question

Hallo nochmals :D,

Ich habe schon wieder eine Frage. Und zwar geht es wieder um das Größte Intervall ( I⊂ℝ) für x sodass die Reihe konvergiert....

$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 12+{ k }^{ 14 } }{ ({ (-1) }^{ k }+2*{ k }^{ 4 })^{ 3 } }  \right)  } ^{ 2-2k }*(x+18)^{ k }$$

Meine Idee ist wahrscheinlich die nahe liegenste und zwar das $$(x+18)^{ k }$$ =0 wird durch x=-18 dass würde natürlich bewirken dass die Reihe immer konvergiert.

Nur das scheint mir etwas zu simpel und daher auch nachdem größten Intervall gefragt wird nehme ich an, dass es nicht so trivial ist .

Also habe ich mir den anderen Ausdruck angeschaut : erstmal vereinfacht als

$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{  } { (k) }^{ 2-2k }$$

und wenn ich hier k→∞ laufen lasse passiert folgendes : $$1+\frac { 2 }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { 3 }{ { 3 }^{ 3 } } +\frac { 4 }{ { 4 }^{ 4 } } +.....$$

Also scheint das ja schon zu konvergieren könnte es sein das x=(-∞;+∞) ist und wie zeige ich dass am besten ?

Comments

müsste die Summe sich nicht etwas anders auflösen?

$$ \sum_{k=1}^\infty k^{2-2k}= 1^{2-2\cdot 1} + 2^{2-2\cdot 2} + 3^{2-2\cdot 3} +4^{2-2\cdot 4}. . . $$

$$ \sum_{k=1}^\infty k^{2-2k}= 1^0 + 2^{-2} + 3^{-4} +4^{-6}. . . $$

$$ \sum_{k=1}^\infty k^{2-2k}= 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^6} . . . $$

Gruß

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Ja klar dass war blöd ... aber dann ist es doch noch offensichtlicher, dass x gar keine Auswirkung auf die konvergenz hat ....

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Substituiere halt y = x+18, wenn Dich die 18 stoert.

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Ich habs nicht nachgerechnet, aber bist Du Dir sicher, dass sich der erste Ausdruck wirklich bis auf k auflöst? Unten steht für k als höchste Potenz 12.((−1)k+2∗k4)3

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Nein ich hab den Ausdruck nicht ausgerechnet ich hab den vereinfacht dargestellt , da der Wert in den Klammern >1 ist und wächst hab ich dass einfach k genannt um es auf Konvergenz zu untersuchen....

Answer 1

Ja, für x=-18 konvergiert die Reihe . Das ist ja eine Potenzreihe und was du brauchst ist der

Konvergenzradius r.  Wenn du den hast konvergiert die Reihe sicher im Intervall

] 18-r ; 18+r [ und die beiden Randpunkte musst du noch extra untersuchen.

Comments

Ja gut das kann ich machen nur eine Frage wo ist der Unterschied zwischen :Sei $$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ k }*{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right)  }^{ k } } $$ eine Potenzreihe

$$|\frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } } |=q$$ und

$$\frac { 1 }{ \sqrt [ k ]{ |ak| }  } =q$$

Ist das egal welche Formel ich nehme weil wir in der Vorlesung nur die mit der Wurzel hatten ....

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So ich habs jetzt geschafft den Konvergenzradius zubestimmen. Nur Mein Intervall scheint mir etwas zu klien oder nicht ? Achja und dei Randwerte hab ich auch noch überprüft die konvergieren auch sprich das INterval ist abgeschlossen ...