Approximation der Funktion f(x)=ln(x) in x0=1 durch die Taylorreihe

Question

ich schlage mich momentan mit einer Aufgabenstellung welche lautet,

"Erklären Sie die Approximation einer Funktion durch eine Taylorreihe am Beispiel der Funktion f(x)= ln(x) an der Stelle x0=1"

Nun Frage ich mich, inwiefern man f(x)= ln(x) approximieren kann? 

Ich wäre für eine kleine Denkhilfe sehr dankbar.

MfG

Answer 1

Schau mal unter: Satz von Taylor bzw. Taylorreihe.

Comments

Dazu brauchst du die Ableitungen:
f ' (x) = 1/x  = x^-1  
f ' ' (x) = - x^-2  
f ' ' ' (x) = 2x^-3  
f ⁽⁴⁾ (x) = -6x^-4  
etc-
Dann ist die Reihe

f(x-1) = f(1) + f ' (1)  + f ' ' (1) / 2 !  +  f ' ' ' (1) / 3 !  + f ⁽⁴⁾ (1) / 4 ! + ..............
        also
ln(x-1) = ln(1)  + (1)^-2 + 2*1^-3 / 2!    -6 * 1^-4 / 3! + ..........

= 0      +1              + 1             - 1           +  1      etc.

d.h. die Taylorreihe bringt hier nichts, da sie nur für x=1 konvergiert.

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Ja ist dann die Frage falsch gestellt oder was meinen Sie damit, dass es hier nichts bringe?

MfG

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Diese Frage erscheint mehr als berechtigt.

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Gesucht ist die Taylor-Reihe für \(\ln(x)\) um \(x_0=1\).

Approximieren tut man damit, indem man die Reihe nach einigen Gliedern abbricht und den Rest abschaetzt.

Answer 2

Die Faktoren 1,2,6,... sind genau die Fakultätsergebnisse, kürzen sich also:

log(x)=(x-1)-1/2*(x-1)^2+1/3 (x-1)^3-1/4 (x-1)^4+1/5 (x-1)^5... für 0 < x < 2

log(1)=(1-1)+0=0 stimmt.

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

unter "wichtige Taylorreihen".

Comments

Konvergenz liegt auch für  x = 2  vor.

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Was meinen Sie nun mit

log(1)= (1-1)+0=0 stimmt?

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Ja, exakt ist 0 < x ≤ 2 

da mit x=2 die alternierende Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen was mit log(2) ergibt.

zu "stimmt":

Zur Probe sollte man immer testen, was man da hingeschrieben hat:

für log(1)=0 (ist als bekannt anzusehen, da e^0=1)

Probe mit Einsetzten der Zahl x=1:

f(1)=(1-1)-1/2(1-1)²+1/3(0)³-0=0-0²/2+0=0+0=0 -> "was zu beweisen war".