Invarianzeigenschaften der Krylov-Räumen. EDIT: Brauche nur noch c) Basiswechsel

Question

Ich versuche gerade die Invarianzeigenschaften der Krylov-Räumen zu beweisen und bräuchte dazu Hilfe:

Die Aufgabe ist folgende Eigenschaften zu beweisen:

Den Krylov-Raum haben wir als K_m(A,b) = span(b, Ab, ... A^m-1b) definiert.

Zu a): durch Einsetzen kriegt man:

K_m(αA, βb) = span(βb, αAβb, ...αA^m-1 βb). Aber warum ist es mit K_m(A,b) gleich?

Zu b): weiter als Einsetzen komme ich auch nicht. Könnte mit vielleicht jemand helfen?

für jede Hilfe

Comments

ok, die Teilaufgaben a und b habe ich. Weiß jemand wie die c) geht?

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Hat sich schon erledigt

Answer 1

Zu a:

Durch Einsetzen kriegt man: K_m(αA, βb) = span(βb, αβAb, ..., α^m-1βA^m-1b).

Für Vektoren {v₁, ..., v_n} und λ≠0 gilt span(v₁, ..., v_n) = span(λv₁, ..., v_n), weil

v = ∑_i=1...nλ_iv_i ⇔ v = λ₁/λ·λv_i + ∑_i=2...nλ_iv_i.

Das heißt das Erzeugnis eines Erzeugendensystems ändert sich nicht, wenn ein Vektor des Erzeugendensystems mit einem Skalar λ≠0 multipliziert wird.

Per Induktion ändert sich das Erzeugnis eines Erzeugendensystems nicht, wenn jeder Vektor v_i des Erzeugendensystems mit einem Skalar λ_i≠0 multipliziert wird.