Ermittlung einer Wronski-Determinante.

Question

Ich habe folgende Gleichungen: y1=e^{αx} *sin(ωx) ; y2=e^{αx} *cos(ωx)

Ich kenne auch schon die Lösung der Determinante: W(y1;y2)=-ω*e^{2αx} ≠ 0

Allerdings würde ich gerne wissen wie man auf diesen Wert kommt. Ich weiß wie man Wronski-Determinanten berechnet, aber bei dieser bin ich überfragt.

Answer 1

f1(x) = e^{α·x}·SIN(ω·x)	f2(x) = e^{α·x}·COS(ω·x)
f1'(x) = e^{α·x}·(ω·COS(ω·x) + α·SIN(ω·x))	f2'(x) = e^{α·x}·(α·COS(ω·x) - ω·SIN(ω·x))

Determinante

f1(x) * f2'(x) - f1'(x) * f2(x)

= e^{α·x}·SIN(ω·x) · (e^{α·x}·(α·COS(ω·x) - ω·SIN(ω·x))) - e^{α·x}·(ω·COS(ω·x) + α·SIN(ω·x)) · (e^{α·x}·COS(ω·x))

= - ω·e^{2·α·x}

Comments

Diese berechnet sich ach nicht anders als andere.

Du stellst die Matrix auf mit Funktionen und Ableitungen und bildest die Determinante.

Vermutlich liegt dein Problem also eher in den Mathematischen Grundlagen des Zusammenfassens als in dem Schema selber oder?

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Vermutlich hast du Recht ^^. Denn die Ableitungen hatte ich auch schon so, aber ich wusste nicht wie man das richtig zusammenfasst, sodass das Ergebnis rauskommt. Aber wie fasst man das denn zusammen damit das Ergebnis herauskommt?

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= e^α·x·SIN(ω·x) · (e^α·x·(α·COS(ω·x) - ω·SIN(ω·x))) - e^α·x·(ω·COS(ω·x) + α·SIN(ω·x)) · (e^α·x·COS(ω·x))

Schön ausklammern von e^{2·α·x}

= e^{2·α·x} * (α·SIN(ω·x)COS(ω·x) - ω·SIN(ω·x)SIN(ω·x) - ω·COS(ω·x)COS(ω·x) - α·SIN(ω·x)COS(ω·x))

= e^{2·α·x} * (- ω·SIN(ω·x)SIN(ω·x) - ω·COS(ω·x)COS(ω·x))

= - ω·e^{2·α·x} * (SIN(ω·x)SIN(ω·x) + COS(ω·x)COS(ω·x))

Benutze: SIN^2(x) + COS^2(x) = 1

= - ω·e^{2·α·x}

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Hmm das muss ich echt nochmal üben. Trotzdem vielen Dank.

Answer 2

so kommst Du auf das Ergebnis: