Berechnung der Umkehrfunktion von tanh(x)

Question

Hallo liebe Mathelunge nutzer.

Ich habe Schwierigkeiten mit der Lösung folgender Aufgabe:

Berechnen Sie die Umkehrfunktion der Funktion tanh explizit. Setzen Sie dazu die Definition von tanh in die Gleichung $x=\tanh y$ ein und lösen Sie diese nach $y$ auf.
Untersuchen Sie weiters den Definitionsbereich dieser Umkehrfunktion, welche mit artanh bezeichnet wird.

Hinweis: Seite 129 im Skriptum zur Vorlesung.

besagte Seite 129 möchte ich euch natürlich auch nicht vorenthalten:

Eine Formel für arcosh x wird durch Auflösen der Gleichung x = cosh y nach y hergeleitet. Man erhält

arcostlı $x=\ln (x \pm \sqrt{x^{2}-1})$ x ≥ 1

Dabei ist, präzise gesprochen, der obere (+) Ast von arcosh x die Umkehrfunktion des rechten Astes von cosh x und der untere (-) Ast ist die Umkehrfunktion des linken Astes von cosh x.

Die Funktion tanh $: \mathbb{R} \rightarrow(-1,1)$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ streng monoton wachsend. Daher existiert eine Umkehrfunktion Area tangens hyperbolicus, die wir mit artanh $x$ bezeichnen.

Aus $x=\tanh y, e^{y}=z, x=\frac{z-\frac{1}{z}}{z+\frac{1}{z}},$ u.s.w. erhalten wir die formelmäßige Darstellung
$$\text { artanh } x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}, \quad x \in(-1,1)$$

 

lg und nochmal vielen Dank!

Comments

EDIT: Suche im Skript mal die Definition von tanh. Das ist nicht dasselbe wie tan. Ich korrigiere das mal in der Überschrift.

Answer 1

y = TANH(x) = (e^2·x - 1)/(e^2·x + 1)

Das jetzt bitte einmal nach x auflösen und dann x und y vertauschen.

Comments

danke!

jetzt habe ich die Rechnung gelöst.

mir fehlt nur noch der Definitionsbereich

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Der tanh(x) ist für alle x definiert. Die umkehrfunktion nicht. Da muss gelten

(x + 1) / (1 - x) > 0 --> -1 < x < 1

Also nur im Bereich zwischen -1 bis 1.