Question

Auf welchem Bereich ist f(x) = tanh(1/x^3) umkehrbar?

Die Bedingung für die Umkehrbarkeit lautet ja strenge Monotonie (fallend oder steigend) bzw. Bijektivität (Surjektivität + Injektivität)

Aber wie finde ich die Bereiche heraus? Muss ich diese vom Graphen ablesen oder kann ich das durch die Funktionsgleichung herausfinden, wo diese umkehrbar ist?

Answer 1

Was weißt du über die Monotonie von tanh(x) ?

Wenn nichts gab es heute dazu gerade eine Frage. Bitte dort mal nachlesen.

https://www.mathelounge.de/77226/kurvendiskussion-tanh-x-mit-e-funktion

Was weißt du über die Funktion 1/x^3 und deren Umkehrbarkeit ?

Was weißt du über Verkettete Funktionen und deren Umkehrung ?

Ein gezeichneter Graph hilft zwar solche Sachen zu erkennen darf aber für eine Argumentation nicht herangezogen werden denke ich.

Comments

tanh(x) ist streng monoton steigend auf ganz R

Die Funktion 1/x^3 hat eine Polstelle bei 0 und ist Punktsymmetrisch. Sie ist umkehrbar im Intervall von    ( minus unendlich, 0 ) da sie in diesem Intervall streng monoton fallend ist und von (0, unendlich) auch umkehrbar (streng monoton steigend)

Also hat die Funktion 2 Monotoniebereiche, in welcher sie streng monoton ist

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nachtrag:


die umkehrfunktion von 1/x^3 wäre doch


y = 1/x^3

y*x^3 = 1

x^3    = 1/y

x        = (1/y)^{1/3}


y = (1/x)^{1/3} ist die inverse funktion zu f(x) = 1/x^3

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Ja. Genau. Damit dürfte dann die Frage denke ich geklärt sein. Übrigens ist die umkehrfunktion vom tanh(x) der artanh(x).

Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_Hyperbolicus_und_Kotangens_Hyperbolicus

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Ja aber tanh(1/x^3) ist doch nicht dasselbe wie tanh(x) - da kann ich doch nicht einfach die artanh(x) nehmen. Oder?


Die area Funktionen und die Hyperbolicus Funktionen habe ich in meiner Mitschrift, die kenne ich bereits.

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Du hast doch nur die Kettenregel.
y = tanh(1/x^3)
artanh(y) = 1/x^3
1/artanh(y) = x^3
(1/artanh(y))^{1/3} = x

Umkehrfunktion

y = (1/artanh(x))^{1/3}

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Also dann war ich wohl auf dem Holzweg, ich dachte ich müsste mit den e Funktionen arbeiten (Also die Defintion von tanh(x) )

Danke, ich werde mir das mal genauer anschauen!

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Nein. Das ist schon richtig. Du sollst die e-Funktion verwenden. Nach der Umkehrfunktion war aber auch nicht gefragt. Also brauchst du die auch nicht angeben.

Das war also nur eine kleine Info für Schüler die etwas mehr lernen wollen. Also das es für tanh(x) auch eine umkehrfunktion gibt und demnach also auch für die verkettung. Nur der Definitions und Wertebereich ist hier also einzuschränken.

Answer 2

 f(x) = tanh(1/x³) ist umkehrbar in R\{0}

Grund:

x^3 ist umkehrbar in R, da streng  monoton steigend und überall definiert.

1/x^3 in R\{0}    folgt aus dem Obigen.

tanh(x) ist umkehrbar in R, da streng monoton steigend und überall definiert.

Kombination der obigen 3 Zeilen:

tanh(1/x^3) ist umkehrbar in R\{0}

Beachte alle Links, die dir Mathecoach angegeben hat, um diese Funktion besser zu verstehen.

Comments

Ja gut, das verstehe ich. Nur ist mein Problem, dass tanh(1/x^3) monoton fallend ist, und nicht streng monoton?

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Was du hier im Graphen als Maximum siehst, ist eine Täuschung, die auf der Maschinen(un)genauigkeit beruht.

Wenn ich bei WolframAlpha die Nullstellen der Ableitung suche,
ergibt das dort das Resultat FALSE.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-%283+sech%5E2%281%2Fx%5E3%29%29%2Fx%5E4+%3D0

D.h. die Steigung ist in R\{0} nirgends exakt 0.

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Das bedeutet, tanh(1/x^3) ist streng monoton fallend bei x < 0 und x > 0 ?

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Ja. Das sehe ich so.

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Dann habe ich noch eine Frage -> Erreicht tanh(1/x^3) jemals den Funktionswert -1 oder +1 oder nähert er sich diesen immer weiter nur?

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Nein erreicht werden diese Werte nicht.
+ 1 und -1 sind nur die Grenzwerte bei x gegen 0 von rechts resp. links.

Vgl. auch hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=tanh%281%2Fx%5E3%29+%3D+1

die alternative Schreibweise der Gleichung ist FALSE. D.h. es gibt keine Lösung.