Konvergenzradius von Reihe bestimmen

Question

benötige Hilfe bei dieser Aufgabe:

Hier soll man den Konvergenzradius bestimmen

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ (\frac { { k }^{ 3 }-1 }{ { k }^{ 2 }+k+1 } ) } { z }^{ k }$$

Danke:)

Answer 1

Der Bruch hat einfach nur den Wert k-1.

Also liefert dir a_n / a_n+1 den Bruch   (Quotientenkrit ! )

(k-1) / k   =   1 - 1/k und für k gegen unendlich hat das den Grenzwert 1

also Konv.rad = 1

Comments

Wenn ich dies mit dem Quotientenkrit. mache erhalte ich dies:

$$\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { ((k+1)^{ 3 }-1)({ k }^{ 2 }+k+1) }{ ((k+1)^{ 2 }+k+2)({ k }^{ 3 }-1) }  \right|  } $$

Wie komme ich hier auf k-1/k ?

Muss man hier alles ausmultiplizieren?

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versuche doch vorher mal das a_k umzuformen

(Polynomdivision oder die berühmte Formel

k^3 - 1 =(k-1)*(k^2+k+1)  ),

da bleibt nur k-1 übrig.