Totales Differential - Erklärung

Question

,

Ich beschäftige mich zur Zeit mit dem totalen Differential und stehe nun ein wenig auf dem Schlauch.

Die Formel hab ich und auch die Tangentialebenen-Berechnungen gehen. Nur steht überall im Internet bspw. , dass: df=f_xdx + f_ydy oder f(x,y)=f(x0) + f'(x0,y0)(x-x0) + f'(x0,y0)(y-y0).

Mir ist einfach nicht klar, was bei der ersten Schreibweise dx und dy bedeuten und bei der Zweiten, was eingesetzt werden muss.
Häufig bei den Lösungen wird ja dann das dx & dy mitgeschrieben. Also totales differential = 3/2dx(BSP.)

Würde mich unheimlich freuen, könnte mir jemand helfen diesen Knopf zu lösen.

Herzlichen Dank im Voraus.

Answer 1

das totale Differential in zwei Variablen beschreibt die Änderung der Funktion \( f(x,y) \) wenn sich \( x \) um \( \Delta x \) und \( y \) sich um \( \Delta y \) ändert, wobei die Änderungen infinitesimal sind. Wenn man die Funktion \( f(x+\Delta x, y+\Delta y) \) um den Punkt \( (x,y) \) in 1'ter Ordnung entwickelt, bekommt man

$$ f(x+\Delta x, y + \Delta y) = f(x,y) + \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y $$ was Deiner zweiten Form entspricht. Siehe auch

https://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0ahUKEwjV69r58ovKAhUBxxoKHcKJByMQFggpMAE&url=http%3A%2F%2Fwww.uni-magdeburg.de%2Fexph%2Fmathe_gl%2Fdifferential.pdf&usg=AFQjCNFJ5W_Fy9PvEyqhwo_hwHOTvkJPGw&sig2=4IdMzu5JPWJ8sa7tH7oiRw&cad=rja

Answer 2

Ich geb dir mal einen ganz heißen Tipp - das sind inf(initesimale) Größen.
  Es gibt eine Teorie von ===> Edward Nelson; sie heißt ===> ( NSA ; IST )
   Dabei steht NSA für " Nonstandard Analysis " und IST für Nelsons drei Axiome

  

I(dealisierung) ; S(tandardisierung ) ; T(ransfer)

Als Lehrbuch empfehle ich dir Alain Robert bei Wiley ; " Non-Standard Analysis )

Ich selber versuche immer Klarheit zu schaffen, indem ich Großbuchstaben nur für Standardgrößen reserviere ( Du magst auch Fettdruck oder gotische nehmen, wie man z.B. ja auch Vektoren hervor hebt. )

Eine Funktion y = f ( x ) heißt inf stetig, wenn eine inf Änderung dx zu einer ( höchstens ) inf Änderung dy führt.

Eine Funktion Y = F ( x ) ist stetig in X0 <===> Sie ist dort inf stetig.

Du weißt jetzt aber nicht, was der Quotient aus diesen beiden inf Größen, den Differenzialen dy und dx , sein könnte. Wenn dieser Differenzialquotient  dy / dx - ein wirklicher Quiotient ! - aber begrenzt ist und sein Schatten unabhängig von dx , dann gilt

F  '  (  X0  )  =  ( dy / dx ) *

Viel Spaß; du wirst jedwede Unterstützung von mir kriegen - du wirst sie brauchen.

Mit mehrdimensionalen Gradienten im Rahmen dieser Teorie habe ich mich leider noch nicht beschäftigt - najaaa. Vielleicht schaffst du es ja; vielleicht packen wir es zusammen.