Metriken gesucht für Mengen von Objekten

Question

ich suche Metriken, die Mengen vergleichen können, für deren Elemente es schon eine Metrik gibt. Also zB soll die Menge {1,2} zu der Menge {1,3} näher sein als der Menge {1,10000}, weil die 2 der 3 ähnlicher ist als der 10000.

Um genau zu sein enthalten meine Mengen aber keine Zahlen, sondern Objekte. Und sie können auch unterschiedlich viele Objekte enthalten.

Beispiel: Menge 1: {Apfel, Birne}, Menge 2: {Apfel, Banane}, Menge 3: {Traube}.

Es ist aber eine Metrik der Objekte gegeben, beispielsweise ist der Apfel der Birne ähnlicher als der Traube. Und es ist bekannt, dass es maximal n Objekte gibt (also n Obstsorten mit ihren jeweiligen Distanzen sind bekannt).

Frage: Gibt es Metriken, die solche Mengen vergleichen können? Oder falls nicht: hat jemand spontan eine Idee dazu?

Answer 1

wenn M und N zwei solche Mengen sind, und d die Metrik für die Elemente,

dann wäre doch vielleicht   D( M,N) = max { d(x,y) | x ∈ M ∧ y ∈ N }  eine Möglichkeit.

Also sozusagen die Idee:   Der Abstand der Mengen ist das Maximum aller paarweise

gebildeten Abstände.  Allerdings gilt dann wohl nicht   M=N  ⇒ D(M,N) = 0 , also

keine echte Metrik.

Comments

Das ist das Problem! Ich suche eine echte Metrik,

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Nimm die Hausdorff-Metrik