Differenzialrechung: Bestimmung des Funktionsterms - 3.Grades

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades hat in W(1|2) einen Wendepunkt und in T(3|0) einen Tiefpunkt.

Bestimmen Sie den Funktionsterm

Answer 1

f(x)=ax³+bx²+cx+d

du kannst vier Gleichungen aufstellen:

(1) aus Punkt (1;2) folgt: 2=a+b+c+d

(2) aus f''(1)=0 folgt: 0=6a+2b

(3) aus (3;0) folgt: 0=27a+9b+3c+d

(4) aus f'(3)=0 folgt: 0=27a+6b+c

löse das Gleichungssystem, dein Ziel

a=1/8, b=-3/8, c=-9/8, d=27/8

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades hat in W(1|2) einen Wendepunkt und in T(3|0) einen Tiefpunkt.

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(1)=2  wegen W

f ' ' (1) = 0  wegen "Wende.."

f(3)=0 wegen T

f ' (3) = 0 weil Extrempunkt

gibt a= 1/8   b=-3/8   c=-9/8   d= 27/8 

und sieht so aus:

~plot~1/8*(x^3 -3x^2-9x+27)~plot~

Answer 3

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades hat in W(1|2) einen Wendepunkt und in T(3|0) einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie den Funktionsterm

Am einfachsten geht das wohl über die Wendepunktform als Ansatz:

$$ f(x) = a(x-1)^3+b(x-1)+2 $$

$$ f'(x) = 3a(x-1)^2 + b $$

Die Tiefpunktbedingungen \(f(3)=f'(3)=0\) führen dann zu den Gleichungen
$$4a+b=-1\quad\text{und}\quad12a+b=0$$und schließlich zu

$$a=\frac18\quad\text{und}\quad b=-\frac32.$$

Der gesuchte Funktionsterm könnte also

$$ f(x) = \frac18\cdot(x-1)^3-\frac32\cdot(x-1)+2 $$

lauten.

Dieser Weg ist sicher kürzer als die anderen Wege
und vermutlich auch deutlich charmanter!