Ableitung mit Quotientenregel - Lt. Lösung kommt bei f'(1) = 4 raus.

Question

f(x) = 5x²-1 / (4x)^0,5

Mein f'(x) sieht so aus:

(10x * (4x)^0,5 - (5x^2-1) * x^{-0,75}) / (4x)^0,25

Wenn ich hier nun 1 einsetze und micht nicht verrechne, kommt bei mir 11,3137... raus.

Lt. Lösung allerdings, wie im Titel erwähnt, 4.

Michael

Answer 1

f ( x ) = ( 5x²-1 ) / √(4x)

u = 5*x^2 -1
u ´ = 10 * x

v = √(4x)
v ´( x ) = 4 / ( 2 * √(4x) )
v ´( x ) = 4 / ( 2 * 2 * √ x )
v ´( x ) = 1 /  √ x
( v ( x ))^2  = 4* x

( u / v  ) ´ = ( u´ * v - u * v ´) /  v^2
( ( 5x²-1 ) / √(4x) ] ´= ( 10 * x *  √(4x) - ( 5*x^2 -1 ) * 1 /  √ x )  /  ( 4 * x )

für x = 1
( 10 * 1 *  √(4) - ( 5 -1 ) * 1 /  √ 1 )  /  4
( 20 - 4 ) / 4 = 4

Comments

Kann man, bei der 1. Ableitung, aus (4x)^0.5 nicht 2x^-0.5 machen?

Und wo kommen hier die "4 / 2" her:

v = √(4x)
v ´( x ) = 4 / ( 2 * √(4x) )

MFG

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Du kannst auch
f ( x ) = ( 5x²-1 ) / √(4x)
umwandeln zu
f ( x ) = ( 5x²-1 ) * (4x)^{-1/2}
und dann mit der Produktregel ableiten.

Desweiteren hast du einen Fehler gemacht bei
[ (4x)^0,5 ]^2
ist nicht
(4x)^{0.25} sondern
(4x)^{0,5} * (4x)^{0.5} = (4x)^{0.5 +0.5} = 4x^1 = 4x

( √ term  ) ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term )
( √ (4x)  ) ´ = 4 / ( 2 * √ (4x) )

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Wirklich großen Dank für die Zeit und die Mühe!

Macht einiges mehr Sinn als vorher..

Eine dumme Frage noch:

Kann man denn wenigsten (4x)^-0.5 so ableiten:

-2x^{-1.5} ?

MfG

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Kann man denn wenigsten (4x)^-0.5 so ableiten:

-2x^-1.5 ?
nein denn  (4x)^-0.5 = 4 ^-0.5 *x  ^-0.5  = 0,5  *x  ^-0.5
gibt also Ableitung    0,5  * ( -0,5 x  ^-1.5 )  =   -0,25 * x ^-1,5   

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Kann man denn wenigsten (4x)^-0.5 so ableiten:
-2x^-1.5 ?
Nein. Wie mathef es ausgeführt hat.

Diese Ableitung trifft zu bei

4x^{-0.5} = 4 * x^{-0.5} = 4 * -0.5 * x^{-0.5-1}
-2x^-1.5