Zeigen sie, dass für |x|<1 gilt |exp(x)-1|≤ ∑^{∞}_(k=1) |x|^k=|x|/(1-|x|)

Question

sitze an folgender Aufgabe und komme einfach nicht weiter.

|exp(x)-1|≤ ∑∞_k=1 |x|^k=|x|/(1-|x|)

(Summe startet bei k=1 und läuft bis ∞)

Ich soll zeigen dass obige Gleichung für |x|<1 gilt und das exp: ℝ →ℝ stetig in 0 und in jedem Punkt x∈ℝ stetig ist.

Answer 1

für die Ungleichung nimmst du die Potenzreihendarstellung der E-Funktion und für die Gleichung die geometrische Reihe zur Hilfe.

Für die Stetigkeit in 0 machst du dann mit Hilfe der gezeigten Ungleichung eine entsprechende \(\varepsilon - \delta \) Abschätzung.

Die Stetigkeit in \(a \in \mathbb{R} \) mit \(a\neq0\) zeigst du dann, indem du deine neuen Erkenntnisse verwendest. Bspw. hättest du dann ja für \( |x-a| < 1 \) die Ungleichung:

$$ |\exp(x-a) -1 | \leq \frac{|x-a|}{\exp(a)(1-|x-a|)} $$

Gruß

Comments

Hey vielen Dank für deine Antwort :)

Die Gleichung bei a) habe ich mithilfe der geometrischen Reihe bewiesen. Bei der Ungleichung habe ich aber noch eine Frage.
Kann ich die Ungleichung nicht auch einfach über die Abschätzung nach oben und der Definition als Grenzwert einer Folge herleiten?

Liebe Grüße

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Mir ist nicht ganz klar was du meinst, probier es doch einfach, kann dann gerne meinen Kommentar zu abgeben.

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Okay :) Ich habe die Definition als Grenzwert einer Folge verwendet und eine Abschätzung nach oben durchgeführt. Dabei habe ich folgende Ungleichung als Grundlage verwendet. 1+u ≤ 1/(1-u) für u <1   |(1+(x/n)^n-1|≤|(1/(1-(x/n)^n)-1)|                                                   ≤|(1/(1-x)-1)|                                                    =1/(1-|x|)-1                                               =|x|/(1-|x|)                                                     =∑∞_k=1 |x|^k