Zeigen Sie, dass für x ]-1,1[ gilt: ∑^{∞}_(n=0) n^2 x^n = (x * (1+x)) / (1-x)^3

Question

Ich muss zeigen, dass für x ∈ ]-1,1[ gilt

∑^∞_n=0 n²xⁿ = (x.(1+x)) / (1-x)³

Kann mir das bitte jemand erklären wäre sehr dankbar!

Comments

Möchtest oder sollst du das mit vollständiger Induktion machen?

Wenn ja: Hast du die Verankerung und die Induktionsbehauptung schon?

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Ich muss zeigen, dass für x ∈ ]-1,1[ gilt

∑^∞_n=0 n²xⁿ = (x.(1+x)) / (1-x)³

Ich nehme an, du musst zeigen, dass es immer ein x ∈ ]-1,1[ gibt, sodass gilt ∑^∞_n=0 n²xⁿ = (x.(1+x)) / (1-x)³.

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@Lu Nein, mitm VI bin ich nicht so sicher.

@Roland: Das ist die Originalaufgabe -  genau wie ich schon geschrieben hab. Aber ja, vielleicht hast du recht.

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@Lu: Nein
Selbstverständlich nicht, denn  ] -1 , 1 [  ist ja keine induktive Menge

@Roland:  Aber ja, vielleicht
Aber nein, keinesfalls.

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Es reicht  die Talorentwicklung der rechten Seite zu bestimmen. Die n-te Ableitung an der Stelle x=0 kann mit Induktion bestimmt werden.

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Geometrische Reihe hinschreiben  -  ableiten  -  mit x multiplizieren  -  ableiten  -  mit x multiplizieren

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Kann jemand bitte bisschen umschreiben, denn ich hab leider keine Ahnung wie genau diese Lösung aussehen müssen..

Answer 1

wie in den Kommentaren vorgeschlagen:

geometrische Reihe

∑^∞_n=0 xⁿ =  1 / ( 1 - x )    für alle     x ∈ ]-1,1[

Dann ableiten  ( beachte Abl. von x^0 = 0 gibt

∑^∞_n=1   n*x^n-1  =  1 / ( 1 - x )^2    |  *x

∑^∞_n=1   n*xⁿ  =  x  / ( 1 - x )^2 

für n=0 ist der Summand = 0 , also auch so:

∑^∞_n=0 n*xⁿ =  x / ( 1 - x )^2     Das Ganze nochmal

∑^∞_n=1   n^2 *x^n-1  =  (x+1)   / ( 1 - x )^3     |   *x

∑^∞_n=1   n^2 *xⁿ  =   x * (x+1)   / ( 1 - x )^3 

Un d wieder n=0 ergänzen, dann passt es.

 

Answer 2

Für x=0 stimmt die Gleichung. Es kommt auf beiden Seiten 0 heraus und 0∈ ]-1,1[. Damit ist aus meiner Sicht gezeigt, was zu zeigen ist.