gleichmäßige und punktweise konvergenz funktionenreihen

Question

Hey. (:

Mir ist da eine Funktion gegeben, nämlich f_n(x)=x*(1-x)^n mit x∈[0,1]. Im Aufgabenteil a) soll ich zeigen, dass diese gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert. Da wollte ich so vorgehen:

sup{|x*(1-x)^n|}=0 für n->∞

Das trifft zu, da für alle x ∈ ]0,1] gilt: (1-x)^n -> 0 für n ->∞. Für x=0 ist der Term auch Null.
Frage: Müsste ich hier auch noch zeigen, dass das ganze für x->0 passt? Also für immer kleiner werdende x? Oder noch was anderes?

Im zweiten Aufgabenteil soll ich nun zeigen, dass g_n(x)=n*x*(1-x)^n nur punktweise und nicht gleichmäßig konvergiert. Dass es nicht gleichmäßig konvergiert ist mir klar, da es für x*1/n gegen eins statt gegen null konvergiert. Aber ich verstehe nicht, wieso x=1/x für die punktweise Konvergenz kein Problem ist. Da scheint das x immer beliebig aber fest sein zu müssen, oder? Aber wo folgt das aus der Definition?

und danke! :)

Answer 1

zuerst mal eine Klarstellung:

$$ \lim \limits_{n \to \infty} (1 -\frac{1}{n})^n = \frac{1}{e} \neq 1 $$

Punktweise Konvergenz bedeutet: Wir nehmen jeweils ein festes \(x\) und schauen, ob die Folge der Funktionswerte gegen einen Grenzfunktionswert konvergiert. Tut sie das für alle \(x\) aus einem betrachteten Bereich, so sagt man, dass die Funktionenfolge auf diesem Bereich punktweise (daher der Name) gegen eine Grenzfunktion konvergiert.

Gruß