Vektoren, Vektorraum, Matrizen

Question

V ist die Menge aller 2x3 Matrizen ∈ℝ

a) warum stellt V einen Vektorraum über R dar? Begründe.

b) Für V die Basis und die Dimension angeben.

c) A=

1	2	3
4	5	6

B=

7	8	9
10	11	12

C=

1	1	1
1	1	1

Die Matrizen A; B; C sind aus V. Sind sie ein linear unabhängiges System?

Answer 1

a) weil man sie miteinander addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren kann

und das Ergebnis dabei immer wieder in V ist und die einschlägigen Gesetzte

(Axiome) für einen VR dabei gelten.

b) dim=6 und Basis ist z.B.

100
  000

010
000

001
000

000
100

000
010

000
001


nimm den Ansatz  x*A + y*B + z*C  =   000
                                                            000

Das gibt 6 Gleichungen für xyz.  Wenn die einzige
Lösung   x=0 y=0 z=0 ist, sind sie lin.unabh.
ansonsten lin. abh.

Comments

Kannst du mir auch d) beantworten,

"Ergänzen Sie die maximale Zahl von linear unabhängigen "Vektoren" aus {A;B;C} durch Angabe geeigneter Matrizen zu einer Basis von V."