Aufgabe zum Beweis ob eine Abbildung stetig ist

Question

f:(-1,unendlich) ->R mit

x-> { ((1+x)^{1/2}-1)/ ( (1+x)^{1/3}-1),  falls x          ungleich 0

{e, falls x=0

Wie kann man die Stetigkeit beweisen ich weiß nie mit welchem Kriterium ich das beweisen kann.mir fällt das total schwer

Comments

1) Wisse, welche Grundfunktionen sowieso stetig sind, und wie man aus stetigen Funktionen neue zusammenbauen kann: +,-,*./,○

2) Fuer kritische Punkte die Definition, \(f\) stetig in \(\xi\)  \(\Longleftrightarrow\)  \(\lim_{x\to\xi}f(x)=f(\xi)\), nachrechnen.

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Ja ich hab das versucht das nachzurechnen aber ich versteh das nicht ganz

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Was genau verstehst Du nicht?

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Man muss doch den Grenzwert von rechts und links betrachten

Aber die Funktion kommt von rechts und links in eine hört genau vor x0=0 und da verstehe ich das schon nicht

Ich kann es ja nicht gegen null laufen lassen von beiden Seiten oder verwechsel ich grad etwas

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Linksseitig und rechtsseitig brauchst Du hier nicht zu unterscheiden, da f auf beiden Seiten durch den gleichen Ausdruck gegeben ist. Es ist also $$\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{1/2}-1}{(1+x)^{1/3}-1}$$ zu berechnen und mit \(f(0)\) zu vergleichen.

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Die Aber f(0) ist doch nur ein Punkt wie soll ich das denn mit dem anderen vergleichen das andere verläuft doch gegen + unendlich.Ich glaub ich denk zu kompliziert

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Alle Punkte \(x\ne0\) fallen unter Punkt 1) ganz oben: \(f\) ist da ersichtlich stetig. Es bleibt offen, ob \(f\) auch für \(x=0\) stetig ist (definiert ist es da ja, also Punkt 2). Dazu ist der aufgeschriebene Grenzwert zu berechnen und mit dem Funktionswert zu vergleichen.

Fuer den Grenzwert \(x\to0\) spielt der Funktionswert \(f(0)\) keine Rolle, deshalb ist \(\lim_{x\to0}f(x)\) wie oben anzuschreiben und zu berechnen.

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Ich komm grad nicht mit

Ich soll den Grenzwert gegen null berechnen und das mit f(0) vergleichen Obwohl das für den Grenzwert gegen null keine Rolle spielt.

Tut mir leid das ich nerve aber würde das gerne verstehen

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Mal andersrum: Kannst Du den angeschriebenen Grenzwert $$\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{1/2}-1}{(1+x)^{1/3}-1}=3/2$$berechnen, oder scheiterst Du schon daran?

Answer 1

Eine erste Berechnung des Grenzwert ergibt 0 / 0.
Ein Fall für l´ Hospital

mfg Georg

Answer 2

((1+x)^1/2-1)/ ( (1+x)^1/3-1) = ((1+x)^1/2-1)/ [ ( (1+x)^1/6-1) • ((1+x)^1/6+1) ]

Setze  z = (1+x)^1/6  → ( 1+x)^1/2 = z³  und   (1+x)^1/3 =  z²

Polynomdivision: (z³-1) : ( z² -1)  =    z + 1 / (z+1)   =   (z² + z + 1) / (z+1)

→  ((1+x)^1/2-1) / ( (1+x)^1/3-1) 

= [ (x + 1)^1/3 + (x + 1)^1/6 + 1 ] / [ (1+x)^1/6+1) ]   → 3/2  für x → 0

Gruß Wolfgang