Zeigen Sie, dass es keine stetige Funktion f: [0,1]→R gibt, die jeden Funktionswert genau zweimal annimmt.

Question

Wunderschönen Guten abend zusammen,

ich hänge bei folgender Aufgabe fest und suche Hilfe.

Wie schon im Titel beschrieben, soll ich zeigen, dass es keine stetige Funktion f : [0,1] → ℝ gibt, die jeden Funktionswert genau zweimal annimmt.

Vielen Dank für jegliche Mühe eurerseits.

Comments

Du kannst hier bspw. einen Widerspruchsbeweis mit Hilfe des Zwischenwertsatzes formulieren.

Answer 1

sei f(0)=a und f(1)=b  und o.B.d.A.  a ≤ b .

Jede jede stetige Fkt. auf einem abg, Int.

besitzt ein Maximum  M und ein Minimum m.

Da f nicht konstant ist ( sonst gäbe es diesen

konstanten Funktioswert mehr als 2 mal) gilt

m < M. Und jeder dieser Werte kommt genau 2 mal als

Funktionswert vor, etwa an den Stellen  r < s  < t  <  u

sei also bei r ein Min.  (Den anderen Fall führt man analog zum Widerspruch.)

dann ist f(r) = m        f(s)=M       f(t)=m       f(u) = M
sei nun z= (m+M)/2 , liegt also zwischen m und M.

Dann gibt es wegen des Zwischenwertsatzes sowohl
zwischen    r und s als auch
 zwischen    s und t als auch                  

zwischen    t und u   jeweils eine

Stelle, an der der Wert z angenommen wird.

Das sind aber drei. Widerspruch!

Comments

was bedeutet abg und Int. in der Erklärung zweite zeile?

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abgeschlossenes Intervall.

Es lebe die Gesellschaft NMA

no more abbreviations.  : - )

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ich habe dazu mal eine Frage:

Bei mir steht da f:[0,1] -> [0,1]

Kann ich dann den selben Beweis führen, der hier aufgeführt ist. Eigentlich schon oder?

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Ich denke schon. Dann sind Max und Min eben aus [0;1].

Das wird ja nicht weiter benutzt.

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Wie sieht denn dann meine Behauptung aus ?

"Es gibt eine stetige Funktion f, die jeden ihrer Werte genau zweimal annimmt." 

Und dann der Widerspruch, da z 3 Werte annimmt ?

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Ja, so würde es doch gehen.

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was bringt die erste Zeile ? o:

also die ränder a und b dass  a kleinergleich b ist

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Kannst du in der Tat weglassen.

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Man weiß doch aber nichts über die Reihenfolge in der Min/Max angenommen werden? Beispielsweise könnte es Min, Max, Max, Min sein. Natürlich wird dann zwischen den beiden Max Werten auch ein z, welches etwas kleiner als das Max ist, angenommen, aber den Fall muss man doch noch abdecken.