Aufgabe:
Wir betrachten nochmals die Funktion
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} & \text { für }\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & \text { für }\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)
von der in der Vorlesung gezeigt wurde, dass sie als Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) in \( (0,0) \) unstetig ist.
a) Zeigen Sie, dass \( f \) in einer beliebigen (offenen) Umgebung von \( (0,0) \) jeden Funktionswert zwischen \( -1 / 2 \) und \( 1 / 2 \) annimmt.
b) Sei jetzt \( D=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbf{R}^{2}:\left|x_{2}\right| \leq\left|x_{1}\right|^{\alpha}\right\} \) für ein festes \( \alpha>1 \). Zeigen Sie, dass \( f: D \rightarrow \mathbf{R} \) in \( (0,0) \) stetig ist.
Ansatz/Problem:
Für 2a) haben wir x2= ax1 eingsetzt und sind zu a/(1+a2) gekommen. Und je nachdem was man für werte einsetzt kommt man ja dann auf alle Wert zwischen -1/2 und 1/2 oder?
