Wahrscheinlichkeit für genau 38 Kugeln in den richtigfarbigen Kästchen.

Question

könnte mir jemand vielleicht sagen, wie man das berechnet?

Es sind 40 Kugeln in je 40  verschiedenen Farben, mit je 40 farbig passenden Kästchen  vorhanden.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit , bei einer wahllosen Verteilung, genau 38 Kugeln in ihren korrekten Kästchen zu besitzen.

Fühle mich ganz blöd, dass ich nicht auf das Ergebnis komme.

mfg,

die Ahnungslose ^^

Answer 1

Wenn ich das richtig verstehe, hat in jedem Kästchen genau eine Kugel Platz.

Unter dieser Voraussetzung zählt man die günstigen Ausfälle:

Genau 38 sind an Ihrem richtigen Platz.

Das geht auf (40 tief 38) Arten

Dann gibt es noch 2 Kugeln, die verkehrt rum platziert sind. 

Das geht auf 1 Art (=verkehrt rum).

Dann die möglichen Ausfälle:

40! 

Nun erst mal prüfen und dann die günstigen durch die möglichen Ausfälle teilen. 

(40 tief 38) / 40! = ( 40!/(38! * 2!) ) / 40! = (40 * 39 / 2) / 40! = (20 * 39)/ 40! 

Comments

Danke für die Antwort. Ich verstehe das nicht ganz mit der Möglichkeit der 2 nicht passenden Kugel.  Das nur auf eine Art, und zwar verkeht, verstehe ich. aber das ist doch möglich mit der 1. und 4. Kugel, mit der 20. und 5.Kugel....etc. Gibt es damit nicht mehere Möglichkeiten?

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Mit (40 tief 38) werden erst 38 Kugeln richtig versorgt. Hier hast du schon die (letztlich 20*39) Möglichkeiten für die beiden noch offenen Kästchen.

2 beliebige Kästchen sind nun noch offen. Hier hast du nur noch die Möglichkeit falsch zu versorgen.

Zusammen(wegen der Produktregel bei "und dann")

(20 * 39) * 1 = 20 * 39 günstige Ausfälle. 

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oh man, ja!  Vielen !

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Bitte. Gern geschehen!

Es ist gut, dass du nachfragst und -rechnest. Gerade bei Kombinatorik hat man schnell mal einen Denkfehler in der Argumentation. 

Answer 2

wenn 38 Kugeln passend verteilt sind kann es nur sein, dass die übrigen 2 Kugeln jeweils im anderen Kasten zueinander liegen. 

Es gibt insgesamt \(40!\) mögliche Verteilungen.

Es gibt \( \binom{40}{2} \) Möglichkeiten 2 Kugeln im obigen Sinne unpassend zu verteilen (die restlichen 38 sind ja jeweils automatisch in den farbig passend Kästchen).

Gruß