Bestimmen Sie den Definitions- und den Abbildungsbereich von f(x) = tanh(arsinh(√x))

Question

Sei f(x) = tanh(arsinh(√x)). Bestimmen Sie den Definitions- und den Abbildungsbereich der Funktion f mit einer Einschränkung auf die reellen Zahlen. Bilden Sie die Umkehrfunktion f^-1.

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Sei f(x) = tanh (arsinh(√ x)). Bestimmen Sie den Definitions- und den Abbildungsbereich der Funktion f mit einer Einschränkung auf die reellen Zahlen. Bilden Sie die Umkehrfunktion f −1 . 

Definitionsmenge habe ich: [0,1]

Bei der Vereinfachung der Funktion habe ich erstmal: f(x)= (Wurzel (x)) / (Wurzel(1+x²))

Als Ableitung: f ' (x) = -(x²-1)/ (2Wurzel(x)(x²+1)(3/2))

Weiter komme ich leider nicht.

Answer 1

die Funktionen $\tanh$ sowie $\text{arsinh}$ sind auf ganz $\mathbb{R}$ definiert. Das einzige was dich einschränkt ist die Wurzel. Somit ist der Definitionsbereich von$f$ also $D_f = [0, \infty)$.

Gruß

Comments

Ist der Definitionsbereich nicht [0,1] , da man die Vereinigung von innerer+äußerer Fnktion nehmen muss, die wäre : innere: [R+ inkl. 0] und äußere : [-1,1]?

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Nein, [-1,1] ist der Wertebereich von $\tanh$. Vermisch hier nicht Äpfel und Birnen. Was du übrigens meinst ist der Durchschnitt und nicht die Vereinigung (spielt hier aber keine Rolle).

$[0,1]$ wäre übrigens die richtige Antwort auf die Frage nach dem Wertebereich von $f$.

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Bei der Vereinfachung der Funktion habe ich erstmal: f(x)= (Wurzel (x)) / (Wurzel(1+x²))

Als Ableitung: f ' (x) = -(x²-1)/ (2Wurzel(x)(x²+1)(3/2))

Kannst du das auf die schnelle überprüfen?

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Eine andere Darstellung der Funktion auf dem genannten Definitionsbereich wäre:
$$f = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$$
Dein Nenner ist also falsch.