Zeigen Sie, dass arsinh(x) = ln (x +√x^2 + 1) gilt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass arsinh(x) = ln (x +√x^2 + 1) gilt.

Comments

Absinth ist die Umkehrfunktion zu sinh. Du brauchst also nur Nachrechnen, dass

sinh(ln(...))=x

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https://de.wikipedia.org/wiki/Absinth

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Mathhilf wird diesen Wermutstropfen verschmerzen. Wer Mut hat, kommt auch mit Wermut klar.

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In einem Nachbarland, das hier ungenannt bleiben soll, galt im letzten Jahrhundert ein Verfassungsartikel mit dem Inhalt: "Fabrikation, Einfuhr, Transport, Verkauf und Aufbewahrung zum Zwecke des Verkaufs des unter dem Namen Absinth bekannten Liqueurs sind im ganzen Umfange der Eidgenossenschaft verboten."

...was zu justiziellen Purzelbäumen führte, als der französische Präsident François Mitterand bei einem Staatsbesuch das Rezept für das köstliche Dessert verlangte. Der Koch im noblen Lokal war ehrlich, und es waren allzuviele indiskrete Juristen anwesend. Es kam 1985 zu einem Freispruch erst in zweiter Instanz. Man behalf sich mit Rechtsirrtum.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die \(\operatorname{arsinh}\)-Funktion ist die Umkehrfunktion zu \(\sinh\). Das heißt im Rahmen ihrer Definitionsbereiche kompensieren die beiden Funktionen ihre Wirkungen gegenseitig:$$\sinh(\operatorname{arsinh}(x))=x$$

Wenn also die \(\sinh\)-Funktion die Wirkung der angegebenen Logarithmusfunktion ebenfalls kompensiert, muss es sich dabei um eine Darstellung von \(\operatorname{arsinh}(x)\) handeln.

$$\phantom{=}\sinh\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)=\frac{e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}-e^{-\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}}{2}$$$$=\frac{e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}-\frac{1}{e^{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}}}{2}=\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\frac{1}{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}}{2}=\frac{(x+\sqrt{x^2+1})^2-1}{2(x+\sqrt{x^2+1})}$$$$=\frac{x^2+2x\sqrt{x^2+1}+(x^2+1)-1}{2(x+\sqrt{x^2+1})}=\frac{2x^2+2x\sqrt{x^2+1}}{2(x+\sqrt{x^2+1})}=\frac{2x(x+\sqrt{x^2+1})}{2(x+\sqrt{x^2+1})}=x\quad\checkmark$$