Lineare Algebra - Materialverflechtungen

Question

Ein Tagebauunternehmen baut Sand ab, der Grundlage für die Rohstoffe R1, R2 und R3 ist. Aus diesen Rohstoffen wird ein Baumaterial als Endprodukt E1, E2 und E3 erstellt. In der Tabelle ist der Rohstoffbedarf je Tonne Endprodukt angegeben.

 

	E1	E2	E3
R1	0,9	0,9	0,95
R2	0,8	0,75	0,8
R3	0,8	k	0,75

 

Es liegen 82 t R1, 70 t R2 und 75 t von R3 vor. Vom Endprodukt E2 sollen 40 t erzeugt werden. Wie viele Tonnen der Endproukte E1 und E3 können erzeugt werden, wenn alle vorhandenen Rohstoffe verbraucht werden?

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Ich grüße euch! Die Aufgabe, die ihr oben seht, bereitet mir einige Schwierigkeiten und ich hoffe, jemand kann mir dabei helfen.

Mein Ansatz:

(R,E)-Matrix * (p1 40 p3)^T = (82 70 75)^T [^T für transponiert]

Ich habe mich dazu entschieden, die Matrix und die p1, 40 (p2), und p3 auszumultiplizieren.

0,9p1 + 0,9p2 + 0,95p3 = 82

0,8p1 + 0,75p2 + 0,8p3 = 70

0,8p1 + k * p2 + 0,75p3 = 75

Da p2 bereits der Wert 40 zugeordnet ist, habe ich diesen für p2 eingesetzt, das Produkt der jeweiligen Elemente berechnet und die Ergebnisse von den Werten hinter den Gleichheitszeichen abgezogen. Ich komme dann auf:

0,9p1 + 0,9p2 = 46

0,8p1 + 0,75p2 = 40

0,8p1 + 0,75p3 = 75 - 40k

Ab hier komme ich nicht mehr weiter - und ist das überhaupt der richtige Weg? Ich bitte um Rat!

Answer 1

Ja, der Weg ist schon der richtige, wenn man davon absieht, dass du dich ein bisschen verrechnet hast.

Das Gleichungssystem ist noch richtig:

0,9p₁ + 0,9p  ₂    + 0,95p ₃  = 82 

0,8p  ₁   +  0,75p ₂  + 0, 8p ₃  = 70 

0,8p ₁  +  k * p₂ + 0, 75p₃ = 75 

Jetzt hast du p₂ aber teilweise an den falschen Stellen eingesetzt (oder falsch abgetippt...)

Richtig ist aber: p₂ = 40 in die Gleichung einsetzen und so umstellen, dass alle Variablen links und alle Konstanten rechts stehen (k ist eine Konstante, deren Wert allerdings unbekannt ist.)

Ich mache mal immer einen Strich, wenn das System vorbei ist.

0,9p₁ + 0,9*40+ 0,95p₃ = 82  | -36

0,8p₁ + 0,75*40+ 0,8p₃ = 70 | -30

0,8p₁ + k * 40 + 0,75p₃ = 75 | -40k

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0,9p₁ + 0,95p₃ = 46

0,8p₁ + 0,8p₃ = 40

0,8p₁ + 0,75p₃ = 75 - 40k

----------------------------------------

Ich weiß natürlich nicht, wie du das jetzt rechnest, allerdings könnte man es jetzt wieder in Matrixform überführen und mit dem Gauß-Algorithmus lösen.

Das funktioniert so: das Gleichungssystem ist äquivalent der folgenden Gleichung:

A*p = b

mit:

$$ A = \left( \begin{array} { l l l } { 0,9 } & { 0,95 } \\ { 0,8 } & { 0,8 } \\ { 0,8 } & { 0,75 } \end{array} \right) \\ p = \left( \begin{array} { l } { p _ { 1 } } \\ { p _ { 3 } } \end{array} \right) \\ b = \left( \begin{array} { c } { 46 } \\ { 40 } \\ { 75 - 40 k } \end{array} \right) $$

Also muss die erweiterte Koeffizientenmatrix A' = (A,b) auf Stufennormalform gebracht werden.

$$ A ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c } { 0,9 } & { 0,95 } & { 46 } \\ { 0,8 } & { 0,8 } & { 40 } \\ { 0,8 } & { 0,75 } & { 75 - 40 k } \end{array} \right) $$

Schaffst du das? Weißt du überhaupt, wovon ich rede? :-)

Comments

Erst einmal vielen Dank für deine Antwort. Ja, du hast recht, ich habe die Sachen falsch von meinem Zettel abgetippt, habe es dort aber so stehen wie du. Nun zu den Schritten danach: Das, was du dort tippst, kommt mir zumindest in Ansätzen bekannt vor.

Muss ich für A' dann den Gauß-Algorithmus anwenden und die Elemente einzeln berechnen? Die Rechnung mit dem Taschenrechner fällt mit dem Paramter k ja leider raus.

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So wie Lu das macht, geht es natürlich auch, ich würde es halt folgendermaßen rechnen:

(Angewandt ist hier der Gaußalgorithmus, ich setze den mal als bekannt Voraus. ;-))

$$ \left( \begin{array} { c c c } { 0,9 } & { 0,95 } & { 46 } \\ { 0,8 } & { 0,8 } & { 40 } \\ { 0,8 } & { 0,75 } & { 75 - 40 k } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c c } { 0,1 } & { 0,15 } & { 6 } \\ { 0,8 } & { 0,8 } & { 40 } \\ { 0,8 } & { 0,75 } & { 75 - 40 k } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1,5 } & { 60 } \\ { 8 } & { 8 } & { 400 } \\ { 8 } & { 7,5 } & { 750 - 400 k } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1,5 } & { 60 } \\ { 0 } & { - 4 } & { - 80 } \\ { 0 } & { - 4,5 } & { 270 - 400 k } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1,5 } & { 60 } \\ { 0 } & { 1 } & { 20 } \\ { 0 } & { 1 } & { \frac { 800 } { 9 } k - 60 } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } & { 30 } \\ { 0 } & { 1 } & { 20 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 800 } { 9 } k - 80 } \end{array} \right) $$

Damit die Lösung korrekt ist, muss die letzte Zeile eine Nullzeile sein, es folgt also:

800/9 k - 80 = 0 | +80

800/9 k = 80 |*9

800 k = 720 |:800

k = 0,9

Die Lösung lautet also vollständig:

p₁ = 30

p₂ = 20

k = 0,9

Die Probe zeigt:

30*0,9 + 40*0,9 + 20*0,95 = 82

30*0,8 + 40*0,75 + 20*0,8 = 70

30*0,8 + 40*0,9 + 20*0,75 = 75

wie es ja auch sein sollte.

Answer 2

Angenommen, das das hier stimmt

0,9p1 + 0,9p2 + 0,95p3 = 82

0,8p1 + 0,75p2 + 0,8p3 = 70

0,8p1 + k * p2 + 0,75p3 = 75

Da p2 bereits der Wert 40 zugeordnet ist, habe ich diesen für p2 eingesetzt, das Produkt der jeweiligen Elemente berechnet und die Ergebnisse von den Werten hinter den Gleichheitszeichen abgezogen.

Dann kommt man auf

1.       0,9p1 + 0,95p3 = 46

2.       0,8p1 + 0.8p3 = 40

3.        0,8p1 + 0,75p3 + 40k= 75 

Weiter

3.-2.           -.075p3 + 40k = 35

8*1. - 9*2.           0*p1     + 0.4p3 = 8         → p3 = 20

in 1. 0.9*p1 + 19 =46

p1 = (46-19):0.9 = 30

in. 3.    0.8*30 + 0.75*20 + 40k = 35

k = (35-12--15)/40 = 0.2

Wie kann man mit diesen Resultaten die Rechnung nachprüfen?

Comments

 

Ich komme eigentlich auch  auf k=0.9  ;-)

Hatte zwei Übertragungsfehler.

in. 3.    0.8*30 + 0.75*20 + 40k = 75

k = (75-24-15)/40 = 0.9

Answer 3

So, ich habe mich nun registriert, um dir antworten zu können.

Erst einmal vielen Dank für deine Antwort. Ja, du hast recht, ich habe die Sachen falsch von meinem Zettel abgetippt, habe es dort aber so stehen wie du. Nun zu den Schritten danach: Das, was du dort tippst, kommt mir zumindest in Ansätzen bekannt vor. (:

Muss ich für A' dann den Gauß-Algorithmus anwenden und die Elemente einzeln berechnen? Die Rechnung mit dem Taschenrechner fällt mit dem Paramter k ja leider raus.

Comments

Du hast ja immer noch 3 Gleichungen und 3 Unbekannte p1, p3 und k. Das sollte für den TR kein Problem sein.

Nimm einfach 0 an den entsprechenden Stellen in 'meinem Gleichungssystem'.

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Hi!

Welches Gleichungssystem meinst du genau? Ich muss ehrlich sagen, dass mich deine Rechnung oben ein bisschen verwirrt. (:

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1.       0,9p1 + 0,95p3      + 0k = 46

2.       0,8p1 + 0.8p3         +0k = 40

3.        0,8p1 + 0,75p3 + 40k = 75 

 

Ich habe das ohne TR gerechnet. Mit Additions- und Subtraktionsverfahren.